Conventional finite-difference frequency-domain (FDFD) methods can describe wave attenuation and velocity dispersion more easily than time-domain methods. However, there are significant challenges associated with the computational costs for solving the linear system when frequency-domain methods are applied in models with large dimensions or fine-scale property variations. Direct-iterative solvers and parallel strategies attempt a trade-off between memory and time costs. We have followed the general framework of a heterogeneous multiscale method and developed a multiscale FDFD approach to solve the Helmholtz equation with lower memory and time costs. To achieve this, the discrete linear system approximating the Helmholtz equation is constructed on a coarse mesh, making its dimension much smaller than that of conventional methods. The coefficient matrix in the linear system of dimension-reduction captures fine-scale heterogeneity in the media by coupling fine- and coarse-scale meshes. Several test models are used to verify the accuracy of our multiscale method and investigate potential sources of error. Numerical results demonstrate that our method accurately approximates the wavefields of fine-scale solutions at low frequencies of the source and could produce solutions with small errors by reducing the size of the coarse-mesh cells at high frequencies as well. Comparisons of computational costs with conventional FDFD methods show that our multiscale method significantly reduces computation time and memory consumption.

中文翻译：

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频域声波建模的多尺度有限差分法

传统的有限差分频域 (FDFD) 方法比时域方法更容易描述波衰减和速度色散。然而，当将频域方法应用于具有大尺寸或细尺度属性变化的模型时，存在与求解线性系统的计算成本相关的重大挑战。直接迭代求解器和并行策略尝试在内存和时间成本之间进行权衡。我们遵循了异构多尺度方法的一般框架，并开发了一种多尺度 FDFD 方法来以较低的内存和时间成本求解亥姆霍兹方程。为了实现这一点，近似亥姆霍兹方程的离散线性系统是在粗网格上构建的，使其尺寸比传统方法小得多。线性降维系统中的系数矩阵通过耦合细尺度和粗尺度网格来捕捉介质中的细尺度异质性。多个测试模型用于验证我们的多尺度方法的准确性并调查潜在的误差来源。数值结果表明，我们的方法准确地逼近了源低频下细尺度解的波场，并且还可以通过减小高频下粗网格单元的大小来产生具有较小误差的解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 计算成本与传统 FDFD 方法的比较表明，我们的多尺度方法显着减少了计算时间和内存消耗。几个测试模型用于验证我们的多尺度方法的准确性并调查潜在的误差来源。数值结果表明，我们的方法准确地逼近了源低频下细尺度解的波场，并且可以通过减小高频下粗网格单元的大小来产生误差较小的解。计算成本与传统 FDFD 方法的比较表明，我们的多尺度方法显着减少了计算时间和内存消耗。几个测试模型用于验证我们的多尺度方法的准确性并调查潜在的误差来源。数值结果表明，我们的方法准确地逼近了源低频下细尺度解的波场，并且还可以通过减小高频下粗网格单元的大小来产生具有较小误差的解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 计算成本与传统 FDFD 方法的比较表明，我们的多尺度方法显着减少了计算时间和内存消耗。数值结果表明，我们的方法准确地逼近了源低频下细尺度解的波场，并且还可以通过减小高频下粗网格单元的大小来产生具有较小误差的解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 计算成本与传统 FDFD 方法的比较表明，我们的多尺度方法显着减少了计算时间和内存消耗。数值结果表明，我们的方法准确地逼近了源低频下细尺度解的波场，并且还可以通过减小高频下粗网格单元的大小来产生具有较小误差的解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 计算成本与传统 FDFD 方法的比较表明，我们的多尺度方法显着减少了计算时间和内存消耗。