In this article, we provide bounds on systoles associated to a holomorphic $1$-form $\omega$ on a Riemann surface $X$. In particular, we show that if $X$ has genus two, then, up to homotopy, there are at most $10$ systolic loops on $(X,\omega)$ and, moreover, that this bound is realized by a unique translation surface up to homothety. For general genus $g$ and a holomorphic 1-form $\omega$ with one zero, we provide the optimal upper bound, $6g-3$, on the number of homotopy classes of systoles. If, in addition, $X$ is hyperelliptic, then we prove that the optimal upper bound is $6g-5$.

中文翻译：

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具有阿贝尔微分的两个黎曼曲面的最大收缩期数

在本文中，我们提供了与黎曼曲面 $X$ 上的全纯 $1$-形式 $\omega$ 相关联的 systoles 的边界。特别地，我们表明，如果 $X$ 有属 2，那么，直到同伦，在 $(X,\omega)$ 上最多有 $10$ 收缩环，而且，这个界限是通过独特的翻译实现的表面一致。对于一般属 $g$ 和带有一个零的全纯 1 型 $\omega$，我们提供了收缩期同伦类数量的最佳上限 $6g-3$。此外，如果 $X$ 是超椭圆的，那么我们证明最优上限是 $6g-5$。