Let $k\geqslant 1$ be a natural number and $\omega _k(n)$ denote the number of distinct prime factors of a natural number n with multiplicity k. We estimate the first and second moments of the functions $\omega _k$ with $k\geqslant 1$ . Moreover, we prove that the function $\omega _1(n)$ has normal order $\log \log n$ and the function $(\omega _1(n)-\log \log n)/\sqrt {\log \log n}$ has a normal distribution. Finally, we prove that the functions $\omega _k(n)$ with $k\geqslant 2$ do not have normal order $F(n)$ for any nondecreasing nonnegative function F.

令 $k\geqslant 1$ 为自然数， $\omega _k(n)$ 表示具有重数k的自然数n的不同素因子的数量。我们用 $k\geqslant 1$ 估计函数 $\omega _k$ 的一阶和二阶矩。此外，我们证明了函数 $\omega _1(n)$ 具有正序 $\log \log n$ 和函数 $(\omega _1(n)-\log \log n)/\sqrt {\log \ log n}$ 服从正态分布。最后，我们证明了具有 $k\geqslant 2$ 的函数 $\omega _k(n)$ 不具有正常顺序 $F(n)$ 对于任何非减非负函数F。