Abstract Linear structural equation models relate the components of a random vector using linear interdependencies and Gaussian noise. Each such model can be naturally associated with a mixed graph whose vertices correspond to the components of the random vector. The graph contains directed edges that represent the linear relationships between components, and bidirected edges that encode unobserved confounding. We study the problem of generic identifiability, that is, whether a generic choice of linear and confounding effects can be uniquely recovered from the joint covariance matrix of the observed random vector. An existing combinatorial criterion for establishing generic identifiability is the half-trek criterion (HTC), which uses the existence of trek systems in the mixed graph to iteratively discover generically invertible linear equation systems in polynomial time. By focusing on edges one at a time, we establish new sufficient and new necessary conditions for generic identifiability of edge effects extending those of the HTC. In particular, we show how edge coefficients can be recovered as quotients of subdeterminants of the covariance matrix, which constitutes a determinantal generalization of formulas obtained when using instrumental variables for identification. While our results do not completely close the gap between existing sufficient and necessary conditions we find, empirically, that our results allow us to prove the generic identifiability of many more mixed graphs than the prior state-of-the-art.

中文翻译：

---

工具变量的行列式推广

摘要 线性结构方程模型使用线性相关性和高斯噪声关联随机向量的分量。每个这样的模型都可以自然地与一个混合图相关联，该图的顶点对应于随机向量的分量。该图包含表示组件之间线性关系的有向边和编码未观察到的混杂的双向边。我们研究了通用可识别性问题，即是否可以从观察到的随机向量的联合协方差矩阵中唯一地恢复线性和混杂效应的通用选择。建立通用可识别性的现有组合标准是半跋涉标准（HTC），它利用混合图中存在的 trek 系统在多项式时间内迭代地发现一般可逆的线性方程组。通过一次关注一个边缘，我们为边缘效应的通用可识别性建立了新的充分和新的必要条件，扩展了 HTC 的边缘效应。特别是，我们展示了如何将边缘系数恢复为协方差矩阵的子行列式的商，这构成了使用工具变量进行识别时获得的公式的行列式推广。虽然我们的结果并没有完全弥合现有充分条件和必要条件之间的差距，但我们发现，凭经验，我们的结果使我们能够证明比现有最先进技术更多的混合图的通用可识别性。通过一次关注一个边缘，我们为边缘效应的通用可识别性建立了新的充分和新的必要条件，扩展了 HTC 的边缘效应。特别是，我们展示了如何将边缘系数恢复为协方差矩阵的子行列式的商，这构成了使用工具变量进行识别时获得的公式的行列式推广。虽然我们的结果并没有完全弥合现有充分条件和必要条件之间的差距，但我们发现，凭经验，我们的结果使我们能够证明比现有最先进技术更多的混合图的通用可识别性。通过一次关注一个边缘，我们为边缘效应的通用可识别性建立了新的充分和新的必要条件，扩展了 HTC 的边缘效应。特别是，我们展示了如何将边缘系数恢复为协方差矩阵的子行列式的商，这构成了使用工具变量进行识别时获得的公式的行列式推广。虽然我们的结果并没有完全弥合现有充分条件和必要条件之间的差距，但我们发现，凭经验，我们的结果使我们能够证明比现有最先进技术更多的混合图的通用可识别性。我们展示了如何将边缘系数恢复为协方差矩阵的子行列式的商，这构成了使用工具变量进行识别时获得的公式的行列式推广。虽然我们的结果并没有完全弥合现有充分条件和必要条件之间的差距，但我们发现，凭经验，我们的结果使我们能够证明比现有最先进技术更多的混合图的通用可识别性。我们展示了如何将边缘系数恢复为协方差矩阵的子行列式的商，这构成了使用工具变量进行识别时获得的公式的行列式推广。虽然我们的结果并没有完全弥合现有充分条件和必要条件之间的差距，但我们发现，凭经验，我们的结果使我们能够证明比现有最先进技术更多的混合图的通用可识别性。