While Anderson localisation is largely well-understood, its description has traditionally been rather cumbersome. A recently-developed theory -- Localisation Landscape Theory (LLT) -- has unparalleled strengths and advantages, both computational and conceptual, over alternative methods. To begin with, we demonstrate that the localisation length cannot be conveniently computed starting directly from the exact eigenstates, thus motivating the need for the LLT approach. Then, we confirm that the Hamiltonian with the effective potential of LLT has very similar low energy eigenstates to that with the physical potential, justifying the crucial role the effective potential plays in our new method. We proceed to use LLT to calculate the localisation length for very low-energy, maximally localised eigenstates, as defined by the length-scale of exponential decay of the eigenstates, (manually) testing our findings against exact diagonalisation. We then describe several mechanisms by which the eigenstates spread out at higher energies where the tunnelling-in-the-effective-potential picture breaks down, and explicitly demonstrate that our method is no longer applicable in this regime. We place our computational scheme in context by explaining the connection to the more general problem of multidimensional tunnelling and discussing the approximations involved. Our method of calculating the localisation length can be applied to (nearly) arbitrary disordered, continuous potentials at very low energies.

中文翻译：

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从定位景观理论计算极低能量下的本征态定位长度

虽然安德森本地化在很大程度上被很好地理解，但它的描述传统上相当繁琐。最近开发的一种理论——本地化景观理论（LLT）——在计算和概念上都比替代方法具有无与伦比的优势和优势。首先，我们证明不能方便地直接从精确的本征态开始计算定位长度，从而激发了对 LLT 方法的需求。然后，我们确认具有 LLT 有效势的哈密顿量与具有物理势的哈密顿量具有非常相似的低能量本征态，证明有效势在我们的新方法中发挥的关键作用是合理的。我们继续使用 LLT 来计算极低能量、最大局部化本征态的局部化长度，正如本征态指数衰减的长度尺度所定义的那样，（手动）针对精确对角化测试我们的发现。然后，我们描述了本征态以更高能量扩散的几种机制，在这些机制中，有效势能隧穿图被破坏，并明确证明我们的方法不再适用于这种情况。我们通过解释与多维隧道的更一般问题的联系并讨论所涉及的近似值来将我们的计算方案置于上下文中。我们计算定位长度的方法可以应用于（几乎）任意无序、连续势在非常低的能量。然后，我们描述了本征态以更高能量扩散的几种机制，在这些机制中，有效势能隧穿图被破坏，并明确证明我们的方法不再适用于这种情况。我们通过解释与多维隧道的更一般问题的联系并讨论所涉及的近似值来将我们的计算方案置于上下文中。我们计算定位长度的方法可以应用于（几乎）任意无序、连续势在非常低的能量。然后，我们描述了本征态以更高能量扩散的几种机制，在这些机制中，有效势能隧穿图被破坏，并明确证明我们的方法不再适用于这种情况。我们通过解释与多维隧道的更一般问题的联系并讨论所涉及的近似值来将我们的计算方案置于上下文中。我们计算定位长度的方法可以应用于（几乎）任意无序、连续势在非常低的能量。我们通过解释与多维隧道的更一般问题的联系并讨论所涉及的近似值来将我们的计算方案置于上下文中。我们计算定位长度的方法可以应用于（几乎）任意无序、连续势在非常低的能量。我们通过解释与多维隧道的更一般问题的联系并讨论所涉及的近似值来将我们的计算方案置于上下文中。我们计算定位长度的方法可以应用于（几乎）任意无序、连续势在非常低的能量。