We study those pre-Hilbert absolute-valued algebras satisfying the identity $(x^2,y,x^2)=0$. We prove that such an algebra $\mathcal{A}$ is finite-dimensional in each one of the following two cases:

(1)

$\mathcal{A}$ satisfies the additional identity $(x,x^2,x)=0$,

(2)

$\mathcal{A}$ contains a weak left-unit.

In the first case $\mathcal{A}$ is flexible and isomorphic to either $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{C}}$, $\mathbb{H}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{H}}$, $\mathbb{O}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{O}}$ or $\mathbb{P}$. In the second one $\mathcal{A}$ has a left-unit and is isomorphic to either $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ${}^{⁎}\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, ${}^{⁎}\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$, or ${}^{⁎}\mathbb{O}$. We also prove the existence of infinite-dimensional pre-Hilbert absolute-valued algebras satisfying $(x^2,y,x^2)=0$ and containing only a non-zero idempotent.

我们研究那些满足恒等式的前希尔伯特绝对值代数 $(X^2,是,X^2)=0$. 我们证明这样的代数$\mathcal{一种}$ 在以下两种情况中的每一种情况下都是有限维的：

(1)

$\mathcal{一种}$ 满足附加身份 $(X,X^2,X)=0$,

(2)

$\mathcal{一种}$ 包含一个弱左单元。

在第一种情况下 $\mathcal{一种}$ 是灵活的和同构的 $\mathbb{电阻}$, $\mathbb{C}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{C}}$, $\mathbb{H}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{H}}$, $\mathbb{哦}$, $\stackrel{⁎}{\mathbb{哦}}$ 或者 $\mathbb{磷}$. 在第二个$\mathcal{一种}$ 有一个左单位并且同构于 $\mathbb{电阻}$, $\mathbb{C}$, ${}^{⁎}\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, ${}^{⁎}\mathbb{H}$, $\mathbb{哦}$， 或者 ${}^{⁎}\mathbb{哦}$. 我们还证明了无限维前希尔伯特绝对值代数的存在满足$(X^2,是,X^2)=0$ 并且只包含一个非零幂等项。