Abstract:Let $\mathscr {M}_{(2,1)}(N)$ be the infimum of the largest sum-free subset of any set of $N$ positive integers. An old conjecture in additive combinatorics asserts that there is a constant $c=c(2,1)$ and a function $\omega (N)\to \infty$ as $N\to \infty$, such that $cN+\omega (N)<\mathscr {M}_{(2,1)}(N)<(c+o(1))N$. The constant $c(2,1)$ is determined by Eberhard, Green, and Manners, while the existence of $\omega (N)$ is still wide open. In this paper, we study the analogous conjecture on $(k,\ell )$-sum-free sets and restricted $(k,\ell )$-sum-free sets. We determine the constant $c(k,\ell )$ for every $(k,\ell )$-sum-free sets, and confirm the conjecture for infinitely many $(k,\ell )$.

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中文翻译：

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最大的 (𝑘,ℓ) 无和子集

摘要：令 $\mathscr {M}_{(2,1)}(N)$ 是任何 $N$ 正整数集合的最大无和子集的下界。加法组合中的一个古老猜想断言存在一个常数 $c=c(2,1)$ 和一个函数 $\omega (N)\to \infty$ 作为 $N\to \infty$，使得 $cN+\欧米茄 (N)<\mathscr {M}_{(2,1)}(N)<(c+o(1))N$。常数 $c(2,1)$ 由 Eberhard、Green 和 Manners 确定，而 $\omega (N)$ 的存在仍然是开放的。在本文中，我们研究了 $(k,\ell )$-sum-free 集和受限 $(k,\ell )$-sum-free 集上的类似猜想。我们确定每个 $(k,\ell )$-sum-free 集合的常数 $c(k,\ell )$，并确认无限多个 $(k,\ell )$ 的猜想。

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