In this paper, we propose a simple tumor-immune system model with time delay of tumor action, where two kinds of effects of the tumor cells (i.e. stimulation and neutralization) on the effector cells are considered. The local stability of the model is obtained by analyzing the characteristic equations of the model at the corresponding equilibria, the sufficient conditions on the global stability are found by applying the Fluctuation Lemma and constructing the different convergent sequences. The obtained results show that, compared to the results for the model without time delay, the time delay of tumor action can affect the stability of tumor equilibrium of the model as the stimulation effect of the tumor cells is strong enough, while the delay is harmless for the stability of tumor equilibrium under the neutralization of tumor cells. For the appropriate neutralization of tumor cells on effector cells, the bistability of the tumor free equilibrium and the stronger tumor equilibrium can appear. In the case of stimulation of tumor cells, the sufficiently large time delay can lead to the appearance of a stable periodic solution by Hopf bifurcation, and the numerical simulation illustrates that the amplitude of the periodic orbit increases with time delay. We also discuss the dependence of the tumor equilibrium and the time delay threshold, determining the stability of the tumor equilibrium, on tumor action. The related conditions determining dynamics of the model are expressed by certain formulae with biological meanings.

中文翻译：

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具有肿瘤作用时间延迟的简单肿瘤免疫系统的定性分析

在本文中，我们提出了一个简单的具有肿瘤作用时间延迟的肿瘤免疫系统模型，其中考虑了肿瘤细胞对效应细胞的两种作用（即刺激和中和）。模型的局部稳定性是通过分析模型在相应平衡点的特征方程得到的，应用波动引理并构造不同的收敛序列，找到全局稳定性的充分条件。得到的结果表明，与无时滞模型的结果相比，由于肿瘤细胞的刺激作用足够强，肿瘤作用的时滞会影响模型肿瘤平衡的稳定性，而时滞是无害的。用于中和肿瘤细胞下肿瘤平衡的稳定性。为了适当地中和效应细胞上的肿瘤细胞，可以出现无肿瘤平衡和更强的肿瘤平衡的双稳态。在刺激肿瘤细胞的情况下，足够大的时延可以导致Hopf分岔出现稳定周期解，数值模拟表明周期轨道的幅度随着时延的增加而增加。我们还讨论了肿瘤平衡和时间延迟阈值对肿瘤作用的依赖性，确定肿瘤平衡的稳定性。决定模型动力学的相关条件由具有生物学意义的某些公式表示。在刺激肿瘤细胞的情况下，足够大的时延可以导致Hopf分岔出现稳定周期解，数值模拟表明周期轨道的幅度随着时延的增加而增加。我们还讨论了肿瘤平衡和时间延迟阈值对肿瘤作用的依赖性，确定肿瘤平衡的稳定性。决定模型动力学的相关条件由具有生物学意义的某些公式表示。在刺激肿瘤细胞的情况下，足够大的时延可以导致Hopf分岔出现稳定周期解，数值模拟表明周期轨道的幅度随着时延的增加而增加。我们还讨论了肿瘤平衡和时间延迟阈值对肿瘤作用的依赖性，确定肿瘤平衡的稳定性。决定模型动力学的相关条件由具有生物学意义的某些公式表示。我们还讨论了肿瘤平衡和时间延迟阈值对肿瘤作用的依赖性，确定肿瘤平衡的稳定性。决定模型动力学的相关条件由具有生物学意义的某些公式表示。我们还讨论了肿瘤平衡和时间延迟阈值对肿瘤作用的依赖性，确定肿瘤平衡的稳定性。决定模型动力学的相关条件由具有生物学意义的某些公式表示。