An $\left(n,k\right)$-Sperner partition system is a set of partitions of some $n$-set such that each partition has $k$ nonempty parts and no part in any partition is a subset of a part in a different partition. The maximum number of partitions in an $\left(n,k\right)$-Sperner partition system is denoted $\text{SP}\left(n,k\right)$. In this paper we introduce a new construction for Sperner partition systems based on a division of the ground set into many equal-sized parts. We use this to asymptotically determine $\text{SP}\left(n,k\right)$ in many cases where $\frac{n}{k}$ is bounded as $n$ becomes large. Further, we show that this construction produces a Sperner partition system of maximum size for numerous small parameter sets $\left(n,k\right)$. By extending a separate existing construction, we also establish the asymptotics of $\text{SP}\left(n,k\right)$ when $n\equiv k\pm 1\left(\mathrm{mod}2k\right)$ for almost all odd values of $k$.

中文翻译：

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Sperner 分区系统的更多结构

一个 $\left(n,克\right)$- Sperner 分区系统是一些分区的集合$n$-set 使得每个分区都有 $克$非空部分和任何分区中的任何部分都是不同分区中部分的子集。最大分区数$\left(n,克\right)$-Sperner分区系统表示 $\text{SP}\left(n,克\right)$. 在本文中，我们介绍了 Sperner 分区系统的新构造，其基于将地面集划分为许多大小相等的部分。我们用它来渐近地确定$\text{SP}\left(n,克\right)$ 在许多情况下 $\frac{n}{克}$ 有界为 $n$变大。此外，我们表明这种构造为许多小参数集产生了最大尺寸的 Sperner 分区系统$\left(n,克\right)$. 通过扩展一个单独的现有结构，我们还建立了渐近线$\text{SP}\left(n,克\right)$ 什么时候 $n\equiv 克\pm 1\left(\mathrm{模组}2克\right)$ 对于几乎所有的奇数值 $克$.