Universal locally testable codes ($\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LTC}$s), recently introduced in our companion paper (CJTCS, 2018), are codes that admit local tests for membership in numerous subcodes, allowing for testing properties of the encoded message. Unfortunately, $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LTC}$s suffer strong limitations, which motivate us to initiate, in this work, the study of the “NP analogue” of these codes, wherein the testing procedures are also given free access to a short proof, akin the $\mathcal{MA}$ proofs of proximity of Gur and Rothblum (Computational Complexity 2018). We call such codes “universal locally verifiable codes” ($\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$s).

A $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$ $C:{\{0,1\}}^k\to {\{0,1\}}^{\eta }$ for a family of functions $\mathcal{F}={\{f_i:{\{0,1\}}^k\to \{0,1\}\}}_{i\in [M]}$ is a code such that, for every $i\in [M]$, membership in the subcode $\{C(x):f_i(x)=1\}$ can be verified locally using explicit access to a short (sublinear length) proof. A $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$ can be viewed as providing an encoding of inputs under which a large family of properties of the encoded inputs can be locally testable using a short proof.

We show $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$s of block length $\tilde{O}(n^2)$ for the family of all functions expressible by t-ary constraint satisfaction problems (t-CSP) over n constraints and k variables, with proof length and query complexity $\tilde{O}(n^{2/3})$, where $t=O(1)$ and $n\ge k$. In addition, we prove a lower bound of $p\cdot q=\tilde{\mathrm{\Omega }}(k)$ for every polynomial length $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$, having proof complexity p and query complexity q, for such CSP functions.

We give an application of $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$s for interactive proofs of proximity ($\mathsf{IPP}$), introduced by Rothblum, Vadhan, and Wigderson (STOC 2013), which are interactive proof systems wherein the verifier queries only a sublinear number of input bits to the end of asserting that, with high probability, the input is close to an accepting input. Specifically, we show a 3-round $\mathsf{IPP}$ for the set of assignments that satisfy fixed CSP instances, with sublinear communication and query complexity, which we derive from our $\mathsf{universal}\text{-}\mathsf{LVC}$ for CSP functions.

通用本地可测试代码（$\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LTC}$s)，最近在我们的配套论文 ( CJTCS , 2018) 中引入，是允许对众多子代码中的成员资格进行本地测试的代码，允许测试编码消息的属性。很遗憾，$\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LTC}$s 受到很大的限制，这促使我们在这项工作中开始研究这些代码的“NP 类似物”，其中测试程序也可以免费访问一个简短的证明，类似于 $\mathcal{嘛}$Gur 和 Rothblum 接近的证明（计算复杂性2018）。我们称此类代码为“通用本地可验证代码”（$\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$s)。

一种 $\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$ $C：{\{0,1\}}^{克}\to {\{0,1\}}^{\eta }$ 对于函数族 $\mathcal{F}={\{F_{\mathrm{一世}}：{\{0,1\}}^{克}\to \{0,1\}\}}_{\mathrm{一世}\in [米]}$ 是这样的代码，对于每个 $\mathrm{一世}\in [米]$, 子代码中的成员资格 $\{C(X)：F_{\mathrm{一世}}(X)=1\}$可以使用对短（次线性长度）证明的显式访问在本地进行验证。一种$\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$可以被视为提供输入的编码，在这种编码下，可以使用简短的证明在本地测试编码输入的一大类属性。

我们展示 $\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$块长度 s $\stackrel{～}{哦}(n^2)$为家庭的所有功能可表达由吨进制约束满足问题（吨-csp）超过Ñ约束和ķ变量，以及证明长度和复杂性的查询$\stackrel{～}{哦}(n^{2/3})$， 在哪里 $吨=哦(1)$ 和 $n\ge 克$. 此外，我们证明了下界$磷\cdot q=\stackrel{～}{\mathrm{\Omega }}(克)$ 对于每个多项式长度 $\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$，对于此类 CSP 函数，具有证明复杂度p和查询复杂度q。

我们给出一个应用 $\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$s 用于邻近性的交互式证明（$\mathsf{独立计划}$)，由 Rothblum、Vadhan 和 Wigderson ( STOC 2013)引入，它们是交互式证明系统，其中验证器仅查询次线性数量的输入位，直到断言很可能输入接近接受输入. 具体来说，我们展示了一个 3 轮$\mathsf{独立计划}$ 对于满足固定 CSP 实例的一组分配，具有亚线性通信和查询复杂性，我们从我们的 $\mathsf{普遍的}\text{——}\mathsf{LVC}$ 用于 CSP 功能。