Let $\mathbb{F}_q$ be an arbitrary finite field of order $q$ and let $M_2(\mathbb F_q)$ be the ring of all $2\times 2$ matrices with entries in $\mathbb F_q$. In this article, we study $\mathrm{det} S$ for certain types of subsets $S \subset M_2(\mathbb F_q)$. For $i\in \mathbb{F}_q$, let $D_i$ be the subset of $M_2(\mathbb F_q)$ defined by $ D_i := \{x\in M_2(\mathbb F_q): \det(x)=i\}.$ We first show that when $E$ and $F$ are subsets of $D_i$ and $D_j$ for some $i, j\in \mathbb{F}_q^*$, respectively, we have $$ \mathrm{det}(E+F)=\mathbb F_q $$ whenever $|E| |F|\ge {15}^2q^4$, and then provide a concrete construction to show that our result is sharp. Secondly, as an application of the first result, we investigate the distribution of the determinants generated by the sum set $(E\cap D_i) + (F\cap D_j),$ when $E, F$ are subsets of the product type, i.e., $U_1\times U_2\subseteq \mathbb F_q^2\times \mathbb F_q^2$ under the identification $ M_2(\mathbb F_q)=\mathbb F_q^2\times \mathbb F_q^2$. Lastly, as an extended version of the first result, we prove that if $E$ is a set in $D_i$ for $i\ne 0$ and $k$ is large enough, then we have $$ \mathrm{det}(2kE):=\det(\underbrace{E + \dots + E}_{2k \: \mathrm{terms}}) \supseteq \mathbb{F}_q^* $$ whenever the size of $E$ is close to $q^{3/2}$. Moreover, we show that, in general, the threshold $q^{3/2}$ is the best possible. Our methods are based on discrete Fourier analysis.

中文翻译：

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矩阵和的行列式分布

令 $\mathbb{F}_q$ 是一个 $q$ 阶的任意有限域，令 $M_2(\mathbb F_q)$ 是所有 $2\times 2$ 矩阵的环，其中条目在 $\mathbb F_q$ 中。在本文中，我们针对某些类型的子集 $S \subset M_2(\mathbb F_q)$ 研究 $\mathrm{det} S$。对于 $i\in \mathbb{F}_q$，令 $D_i$ 是 $M_2(\mathbb F_q)$ 的子集 $D_i := \{x\in M_2(\mathbb F_q): \det( x)=i\}.$ 我们首先证明，当 $E$ 和 $F$ 分别是某些 $i 的 $D_i$ 和 $D_j$ 的子集时，j\in \mathbb{F}_q^*$ 分别为，我们有 $$ \mathrm{det}(E+F)=\mathbb F_q $$ 每当 $|E| |F|\ge {15}^2q^4$，然后提供一个具体的构造来表明我们的结果是尖锐的。其次，作为第一个结果的应用，我们研究了由和集 $(E\cap D_i) + (F\cap D_j),$ 生成的行列式的分布，当 $E, F$ 是产品类型的子集时, 即$U_1\times U_2\subseteq\mathbb F_q^2\times\mathbb F_q^2$下的标识$ M_2(\mathbb F_q)=\mathbb F_q^2\times \mathbb F_q^2$。最后，作为第一个结果的扩展版本，我们证明如果 $E$ 是 $D_i$ 中 $i\ne 0$ 的一个集合并且 $k$ 足够大，那么我们有 $$ \mathrm{det} (2kE):=\det(\underbrace{E + \dots + E}_{2k \: \mathrm{terms}}) \supseteq \mathbb{F}_q^* $$ 只要 $E$ 的大小是接近 $q^{3/2}$。此外，我们表明，一般来说，阈值 $q^{3/2}$ 是最好的。我们的方法基于离散傅立叶分析。那么我们有 $$ \mathrm{det}(2kE):=\det(\underbrace{E + \dots + E}_{2k \: \mathrm{terms}}) \supseteq \mathbb{F}_q^*只要 $E$ 的大小接近 $q^{3/2}$。此外，我们表明，一般来说，阈值 $q^{3/2}$ 是最好的。我们的方法基于离散傅立叶分析。那么我们有 $$ \mathrm{det}(2kE):=\det(\underbrace{E + \dots + E}_{2k \: \mathrm{terms}}) \supseteq \mathbb{F}_q^*只要 $E$ 的大小接近 $q^{3/2}$。此外，我们表明，一般来说，阈值 $q^{3/2}$ 是最好的。我们的方法基于离散傅立叶分析。