The Radon transform \( R \) maps a function \( f \) on \( {𝕉}^{n} \) to the family of the integrals of \( f \) over all hyperplanes. The classical Reshetnyak formula (also called the Plancherel formula for the Radon transform) states that \( \|f\|_{L^{2}({𝕉}^{n})}=\|Rf\|_{H^{(n-1)/2}_{(n-1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \), where \( \|\cdot\|_{H^{(n-1)/2}_{(n-1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \) is some special norm. The formula extends the Radon transform to the bijective Hilbert space isometry \( R:L^{2}({𝕉}^{n})\rightarrow H^{(n-1)/2}_{(n-1)/2,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \). Given reals \( r \), \( s \), and \( t>-n/2 \), we introduce the Sobolev type spaces \( H^{(r,s)}_{t}({𝕉}^{n}) \) and \( H^{(r,s)}_{t,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \) and prove the version of the Reshetnyak formula: \( \|f\|_{H^{(r,s)}_{t}({𝕉}^{n})}=\|Rf\|_{H^{(r,(s+n-1)/2)}_{t+(n-1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \). The formula extends the Radon transform to the bijective Hilbert space isometry \( R:H^{(r,s)}_{t}({𝕉}^{n})\rightarrow H^{(r,s+(n-1)/2)}_{t+(n-1)/2,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \). If \( r\geq 0 \) and \( s\geq 0 \) are integers then \( H^{(r,s)}_{0,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \) consists of the even functions \( \varphi(\xi,p) \) with square integrable derivatives of order \( \leq r \) with respect to \( \xi \) and order \( \leq s \) with respect to \( p \).

Radon变换 \（R \）映射函数 \（F \）上 \（{𝕉} ^ {N} \） 家族的积分的 \（F \）在所有的超平面。经典的 Reshetnyak 公式（也称为 Radon 变换的 Plancherel 公式）指出 \( \|f\|_{L^{2}({𝕉}^{n})}=\|Rf\|_{H ^{(n-1)/2}_{(n-1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \)，其中 \( \|\cdot\|_ {H^{(n-1)/2}_{(n-1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \) 是一些特殊的范数。该公式将Radon变换扩展到双射希尔伯特空间等距 \( R:L^{2}({𝕉}^{n})\rightarrow H^{(n-1)/2}_{(n-1) / 2，e}（{𝕊} ^ {n-1} \ times {𝕉}）\）。给定实数 \( r \)、\( s \)和\( t>-n/2 \)，我们引入了 Sobolev 类型空间 \( H^{(r,s)}_{t}({𝕉}^{n}) \)和\( H^{( r,s)}_{t,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \) 并证明 Reshetnyak 公式的版本： \( \|f\|_{H^{ (r,s)}_{t}({𝕉}^{n})}=\|Rf\|_{H^{(r,(s+n-1)/2)}_{t+(n -1)/2}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉})} \) . 该公式将 Radon 变换扩展到双射 Hilbert 空间等距 \( R:H^{(r,s)}_{t}({𝕉}^{n})\rightarrow H^{(r,s+(n- 1)/2)}_{t+(n-1)/2,e}({𝕊}^{n-1}\times{𝕉}) \)。如果\( r\geq 0 \)和\( s\geq 0 \)是整数，则\( H^{(r,s)}_{0,e}({𝕊}^{n-1}\times {𝕉}) \) 由偶函数\( \varphi(\xi,p) \) 用的顺序平方可积的衍生物 \（\当量r \）相对于 \（\ XI \）和顺序 \（\当量小号\）与尊重 \（第\） 。