In this paper, we study the local well-posedness of the Boussinesq equation for MHD convection with fractional thermal diffusion in $H^s\left({\mathbb{R}}^n\right)\times H^{s+1-ϵ}\left({\mathbb{R}}^n\right)\times H^{s+\alpha -ϵ}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ with $s>\frac{n}{2}-1$ and any small enough $ϵ>0$ such that $s+1-ϵ>\frac{n}{2}$ and $s+\alpha -ϵ\ge s+2-(ϵ+\alpha )>\frac{n}{2}$. We present here the fractional operator ${(-\Delta )}^{\alpha }\theta$ for $\alpha >1$ which is estimated by using Littlewood–Paley projection.

中文翻译：

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索博列夫空间中具有分数热扩散的 MHD 对流的 Boussinesq 方程的局部适定性 $H^{秒}\left({\mathbb{电阻}}^n\right)\times H^{秒+1-\epsilon }\left({\mathbb{电阻}}^n\right)\times H^{秒+\alpha -\epsilon }\left({\mathbb{电阻}}^n\right)$

在本文中，我们研究了具有分数热扩散的 MHD 对流的 Boussinesq 方程的局部适定性 $H^{秒}\left({\mathbb{电阻}}^n\right)\times H^{秒+1-\epsilon }\left({\mathbb{电阻}}^n\right)\times H^{秒+\alpha -\epsilon }\left({\mathbb{电阻}}^n\right)$ 和 $秒>\frac{n}{2}-1$ 和任何足够小的 $\epsilon >0$ 以至于 $秒+1-\epsilon >\frac{n}{2}$ 和 $秒+\alpha -\epsilon \ge 秒+2-(\epsilon +\alpha )>\frac{n}{2}$. 我们在这里介绍分数运算符${(-\Delta )}^{\alpha }\theta$ 为了 $\alpha >1$ 这是通过使用 Littlewood-Paley 投影估计的。