SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 3, Page 909-923, January 2021.
We consider metrical task systems on tree metrics and present an $O(\mathrm{depth} \times \log n)$-competitive randomized algorithm based on the mirror descent framework introduced in our prior work on the $k$-server problem. For the special case of hierarchically separated trees (HSTs), we use mirror descent to refine the standard approach based on gluing unfair metrical task systems. This yields an $O(\log n)$-competitive algorithm for HSTs, thus removing an extraneous $\log\log n$ in the bound of Fiat and Mendel (2003). Combined with well-known HST embedding theorems, this also gives an $O((\log n)^2)$-competitive randomized algorithm for every $n$-point metric space.

中文翻译：

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通过镜像下降和不公平粘合在树上的度量任务系统

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 3 期，第 909-923 页，2021 年 1 月。
我们考虑了树度量上的度量任务系统，并提出了一个基于 $O(\mathrm{depth} \times \log n)$-竞争性随机算法关于我们之前关于 $k$-server 问题的工作中介绍的镜像下降框架。对于分层分离树 (HST) 的特殊情况，我们使用镜像下降来改进基于粘合不公平度量任务系统的标准方法。这为 HST 产生了一个 $O(\log n)$ 竞争算法，从而在 Fiat 和 Mendel (2003) 的界限中删除了一个无关的 $\log\log n$。结合众所周知的 HST 嵌入定理，这也为每个 $n$-point 度量空间提供了 $O((\log n)^2)$-竞争性随机算法。