SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 81, Issue 3, Page 982-1001, January 2021.
The neutron transport equation (NTE) describes the flux of neutrons over time through an inhomogeneous fissile medium. In the recent articles, [A. M. G. Cox et al., J. Stat. Phys., 176 (2019), pp. 425--455; E. Horton, A. E. Kyprianou, and D. Villemonais, Ann. Appl. Probab., 30 (2020), pp. 2573--2612] a probabilistic solution of the NTE is considered in order to demonstrate a Perron--Frobenius type growth of the solution via its projection onto an associated leading eigenfunction. In [S. C. Harris, E. Horton, and A. E. Kyprianou, Ann. Appl. Probab., 30 (2020), pp. 2815--2845; A. M. G. Cox et al., Monte Carlo Methods for the Neutron Transport Equation, https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)], further analysis is performed to understand the implications of this growth both in the stochastic sense as well as from the perspective of Monte Carlo simulation. Such Monte Carlo simulations are prevalent in industrial applications, in particular where regulatory checks are needed in the process of reactor core design. In that setting, however, it turns out that a different notion of growth takes center stage, which is otherwise characterized by another eigenvalue problem. In that setting, the eigenvalue, sometimes called $k$-effective (written $k_{\texttt{eff}}$), has the physical interpretation as being the ratio of neutrons produced (during fission events) to the number lost (due to absorption in the reactor or leakage at the boundary) per typical fission event. In this article, we aim to supplement [J. Stat. Phys., 176 (2019), pp. 425--455; Ann. Appl. Probab., 30 (2020), pp. 2573--2612; Ann. Appl. Probab., 30 (2020), pp. 2815--2845; Monte Carlo Methods for the Neutron Transport Equation, https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)] by developing the stochastic analysis of the NTE further to the setting where a rigorous probabilistic interpretation of $k_{\texttt{eff}}$ is given, both in terms of a Perron--Frobenius type analysis as well as via classical operator analysis. To our knowledge, despite the fact that an extensive engineering literature and industrial Monte Carlo software are concentrated around the estimation of $k_{\texttt{eff}}$ and its associated eigenfunction, we believe that our work is the first rigorous treatment in the probabilistic sense (which underpins some of the aforesaid Monte Carlo simulations).

中文翻译：

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中子输运方程 III 的随机方法：分代多对一和 $k_{\texttt{eff}}$

SIAM Journal on Applied Mathematics，第 81 卷，第 3 期，第 982-1001 页，2021 年 1 月。
中子传输方程 (NTE) 描述了中子通过非均质裂变介质随时间推移的通量。在最近的文章中，[AMG Cox 等人，J. Stat。物理，176 (2019)，第 425--455 页；E. Horton、AE Kyprianou 和 D. Villemonais、Ann。应用程序 Probab., 30 (2020), pp. 2573--2612] 考虑了 NTE 的概率解，以证明解的 Perron--Frobenius 型增长，通过其投影到相关的领先特征函数。在 [SC Harris, E. Horton 和 AE Kyprianou, Ann。应用程序 概率论，30 (2020)，第 2815--2845 页；AMG Cox 等人，中子传输方程的蒙特卡罗方法，https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)]，进行了进一步的分析，以从随机意义上以及从蒙特卡罗模拟的角度理解这种增长的含义。这种蒙特卡罗模拟在工业应用中很普遍，特别是在反应堆堆芯设计过程中需要监管检查的情况下。然而，在这种情况下，结果是一个不同的增长概念占据了中心位置，否则它会以另一个特征值问题为特征。在这种情况下，特征值有时称为 $k$-有效（写作 $k_{\texttt{eff}}$），其物理解释是产生的中子（在裂变事件期间）与损失的数量（由于反应堆中的吸收或边界处的泄漏）每个典型的裂变事件。在本文中，我们旨在补充 [J. 统计。Phys., 176 (2019), pp. 425--455; 安。应用程序 概率论，30 (2020)，第 2573--2612 页；安。应用程序 概率论，30 (2020)，第 2815--2845 页；中子输运方程的蒙特卡罗方法，https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)] 通过进一步开发 NTE 的随机分析到 $k_{\texttt{eff} 的严格概率解释的设置}$ 是根据 Perron--Frobenius 类型分析以及通过经典运算符分析给出的。据我们所知，尽管大量的工程文献和工业蒙特卡罗软件都集中在 $k_{\texttt{eff}}$ 的估计及其相关的特征函数上，但我们相信我们的工作是概率意义（它支持上述一些蒙特卡罗模拟）。30 (2020)，第 2815--2845 页；中子输运方程的蒙特卡罗方法，https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)] 通过进一步开发 NTE 的随机分析到 $k_{\texttt{eff} 的严格概率解释的设置}$ 是根据 Perron--Frobenius 类型分析以及通过经典运算符分析给出的。据我们所知，尽管大量的工程文献和工业蒙特卡罗软件都集中在 $k_{\texttt{eff}}$ 的估计及其相关的特征函数上，但我们相信我们的工作是概率意义（它支持上述一些蒙特卡罗模拟）。30 (2020)，第 2815--2845 页；中子输运方程的蒙特卡罗方法，https://arxiv.org/abs/2012.02864 (2020)] 通过进一步开发 NTE 的随机分析到 $k_{\texttt{eff} 的严格概率解释的设置}$ 是根据 Perron--Frobenius 类型分析以及通过经典运算符分析给出的。据我们所知，尽管大量的工程文献和工业蒙特卡罗软件都集中在 $k_{\texttt{eff}}$ 的估计及其相关的特征函数上，但我们相信我们的工作是概率意义（它支持上述一些蒙特卡罗模拟）。02864 (2020)] 通过将 NTE 的随机分析进一步发展到给出 $k_{\texttt{eff}}$ 的严格概率解释的设置，无论是在 Perron--Frobenius 类型分析方面还是通过经典算子分析。据我们所知，尽管大量的工程文献和工业蒙特卡罗软件都集中在 $k_{\texttt{eff}}$ 的估计及其相关的特征函数上，但我们相信我们的工作是概率意义（它支持上述一些蒙特卡罗模拟）。02864 (2020)] 通过将 NTE 的随机分析进一步发展到给出 $k_{\texttt{eff}}$ 的严格概率解释的设置，无论是在 Perron--Frobenius 类型分析方面还是通过经典算子分析。据我们所知，尽管大量的工程文献和工业蒙特卡罗软件都集中在 $k_{\texttt{eff}}$ 的估计及其相关的特征函数上，但我们相信我们的工作是概率意义（它支持上述一些蒙特卡罗模拟）。