In this article, we prove two new versions of a theorem proven by Efron in Efron (1965). Efron’s theorem says that if a function $\varphi :{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ is non-decreasing in each argument then we have that the function $s\mapsto \mathbb{E}\left[\varphi (X,Y)\right|X+Y=s]$ is non-decreasing. We name restricted Efron’s theorem a version of Efron’s theorem where $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ only depends on one variable. $P{F}_n$ is the class of functions such as $\forall a_1\le \cdots \le a_n,b_1\le \cdots \le b_n,det{\left(f(a_i-b_j)\right)}_{1\le i,j\le n}\ge 0.$ The first version generalizes the restricted Efron’s theorem for random variables in the $P{F}_n$ class. The second one considers the non-restricted Efron’s theorem with a stronger monotonicity assumption. In the last part, we give a more general result of the second generalization of Efron’s theorem.

在本文中，我们证明了Efron在Efron（1965）中证明的定理的两个新版本。埃夫隆定理说，如果一个函数$\varphi ：{\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}\to \mathbb{[R}$ 在每个参数中不递减，那么我们有函数 $s\mapsto \mathbb{E}\left[\varphi （X，ÿ）\right|X+ÿ=s]$不减少。我们将受限埃夫隆定理命名为埃夫隆定理的一个版本，其中$\varphi ：\mathbb{[R}\to \mathbb{[R}$ 仅取决于一个变量。 $P{F}_{ñ}$ 是诸如以下功能的类 $\forall {\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}\le \cdots \le {\mathrm{一种}}_{ñ}，b_{\mathrm{1个}}\le \cdots \le b_{ñ}，t{（F（{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}}-b_{Ĵ}））}_{\mathrm{1个}\le \mathrm{一世}，Ĵ\le ñ}\ge 0。$ 第一个版本将受限的Efron定理推广到了随机变量中 $P{F}_{ñ}$班级。第二个考虑具有更强单调性假设的非限制性埃夫隆定理。在最后一部分中，我们给出了埃夫隆定理的第二个推广的更一般的结果。