Let $u(t,x)$ be the solution to the stochastic heat equation on ${\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^d$ driven by a Gaussian noise that is white in time and has a spatially covariance that satisfies Dalang’s condition. In this paper, we prove an almost sure central limit theorem for spatial averages of the form ${\int }_{{[0,N]}^d}g\left(u(t,x)\right)\mathrm{d}x$ as $N\to \infty$ for fixed $t>0$, where $g$ is a globally Lipschitz function or belongs to a class of locally Lipschitz functions.

中文翻译：

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随机热方程的几乎确定的中心极限定理

让 $ü（Ť，X）$ 是随机热方程的解 ${\mathbb{[R}}_{+}\times {\mathbb{[R}}^d$由高斯噪声驱动，该噪声在时间上为白色，并且具有满足大朗条件的空间协方差。在本文中，我们证明了形式的空间平均值的几乎确定的中心极限定理${\int }_{{[0，ñ]}^d}G（ü（Ť，X））\mathrm{d}X$ 作为 $ñ\to \infty$ 用于固定 $Ť>0$， 在哪里 $G$ 是全局Lipschitz函数或属于局部Lipschitz函数的一类。