For $N\ge 3$, by the seminal paper of Brezis and Véron (1980/81), no positive solutions of $-\mathrm{\Delta }u+u^q=0$ in ${\mathbb{R}}^N\setminus \{0\}$ exist if $q\ge N/(N-2)$. In turn, for $1<q<N/(N-2)$ the existence and profiles near zero of all positive $C^1({\mathbb{R}}^N\setminus \{0\})$ solutions are given by Friedman and Véron (1986).

In this paper, for every $q>1$ and $\theta \in \mathbb{R}$, we prove that the elliptic problem $(\star )$ $-\mathrm{\Delta }u-\lambda |x{|}^{-2}u+|x{|}^{\theta }{u}^q=0$ in ${\mathbb{R}}^N\setminus \{0\}$ with $u>0$ has a $C^1({\mathbb{R}}^N\setminus \{0\})$ solution if and only if $\lambda >{\lambda }^{⁎}$, where ${\lambda }^{⁎}=\mathrm{\Theta }(N-2-\mathrm{\Theta })$ with $\mathrm{\Theta }=(\theta +2)/(q-1)$. We show that (a) if $\lambda >{(N-2)}^2/4$, then $U_0(x)={(\lambda -{\lambda }^{⁎})}^{1/(q-1)}|x{|}^{-\mathrm{\Theta }}$ is the only solution of $(\star )$ and (b) if ${\lambda }^{⁎}<\lambda \le {(N-2)}^2/4$, then all solutions of $(\star )$ are radially symmetric and their total set is $U_0\cup \{U_{\gamma ,q,\lambda }:\gamma \in (0,\infty )\}$. We give the precise behavior of $U_{\gamma ,q,\lambda }$ near zero and at infinity, distinguishing between $1<q<q_{N,\theta }$ and $q>\max \{q_{N,\theta },1\}$, where $q_{N,\theta }=(N+2\theta +2)/(N-2)$.

In addition, we answer open questions arising from the works of Cîrstea (2014) and Wei–Du (2017) for $\theta \le -2$ by settling the existence and sharp profiles near zero of all positive solutions of $(\star )$ in $\mathrm{\Omega }\setminus \{0\}$, subject to $u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0$, where Ω is a smooth bounded domain containing zero.

为了 $ñ\ge 3$，由布雷齐斯（Brezis）和韦隆（Véron）（1980/81）开创性的论文， $-\mathrm{\Delta }ü+{ü}^q=0$ 在 ${\mathbb{[R}}^{ñ}\setminus \{0\}$ 存在，如果 $q\ge ñ/（ñ-\mathrm{2个}）$。反过来，对于$\mathrm{1个}<q<ñ/（ñ-\mathrm{2个}）$ 所有正数的存在和分布接近零 $C^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}\setminus \{0\}）$ 解决方案由Friedman和Véron（1986）提供。

在本文中，对于每个 $q>\mathrm{1个}$ 和 $\theta \in \mathbb{[R}$，我们证明了椭圆问题 $（\star ）$ $-\mathrm{\Delta }ü-\lambda |X{|}^{-\mathrm{2个}}ü+|X{|}^{\theta }{ü}^q=0$ 在 ${\mathbb{[R}}^{ñ}\setminus \{0\}$ 和 $ü>0$ 有一个 $C^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}\setminus \{0\}）$ 解决方案，当且仅当 $\lambda >{\lambda }^{⁎}$， 在哪里 ${\lambda }^{⁎}=\mathrm{\Theta }（ñ-\mathrm{2个}-\mathrm{\Theta }）$ 和 $\mathrm{\Theta }=（\theta +\mathrm{2个}）/（q-\mathrm{1个}）$。我们证明（a）如果$\lambda >{（ñ-\mathrm{2个}）}^{\mathrm{2个}}/4$， 然后 ${ü}_0（X）={（\lambda -{\lambda }^{⁎}）}^{\mathrm{1个}/（q-\mathrm{1个}）}|X{|}^{-\mathrm{\Theta }}$ 是唯一的解决方案 $（\star ）$ 和（b）如果 ${\lambda }^{⁎}<\lambda \le {（ñ-\mathrm{2个}）}^{\mathrm{2个}}/4$，则所有的解决方案 $（\star ）$ 是径向对称的，它们的总集合是 ${ü}_0\cup \{{ü}_{\gamma ，q，\lambda }：\gamma \in （0，\infty ）\}$。我们给出的精确行为${ü}_{\gamma ，q，\lambda }$ 接近零且无穷大，以区分 $\mathrm{1个}<q<q_{ñ，\theta }$ 和 $q>\mathrm{最大限度}\{q_{ñ，\theta }，\mathrm{1个}\}$， 在哪里 $q_{ñ，\theta }=（ñ+\mathrm{2个}\theta +\mathrm{2个}）/（ñ-\mathrm{2个}）$。

此外，我们还将回答Cîrstea（2014）和Wei–Du（2017）的作品所产生的开放性问题。 $\theta \le -\mathrm{2个}$ 通过解决的所有正解的存在和接近零的尖锐轮廓 $（\star ）$ 在 $\mathrm{\Omega }\setminus \{0\}$，受 $ü{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0$，其中Ω是包含零的平滑有界域。