Sensitivity of periodic solutions of time-dependent partial differential equations is commonly computed using time-consuming direct and adjoint time integrations. Particular attention must be provided to the periodicity condition in order to obtain accurate results. Furthermore, stabilization techniques are required if the orbit is unstable. The present article aims to propose an alternative methodology to evaluate the sensitivity of periodic flows via the Fourier–Galerkin method. Unstable periodic orbits are directly computed and continued without any stabilizing technique. The stability of the periodic state is determined via Hill's method: the frequency-domain counterpart of Floquet analysis. Sensitivity maps, used for open-loop control and physical instability identification, are directly evaluated using the adjoint of the projected operator. Furthermore, we propose an efficient and robust iterative algorithm for the resolution of underlying linear systems. First of all, the new approach is applied on the Feigenbaum route to chaos in the Lorenz system. Second, the transition to a three-dimensional state in the periodic vortex-shedding past a circular cylinder is investigated. Such a flow case allows the validation of the sensitivity approach by a systematic comparison with previous results presented in the literature. Finally, the transition to a quasi-periodic state past two side-by-side cylinders is considered. These last two cases also served to test the performance of the proposed iterative algorithm.

通常，使用耗时的直接和伴随时间积分来计算与时间相关的偏微分方程的周期解的灵敏度。为了获得准确的结果，必须特别注意周期性条件。此外，如果轨道不稳定，则需要稳定技术。本文旨在提出一种替代方法，以通过傅里叶-加勒金方法评估周期性流动的敏感性。不稳定的周期轨道是直接计算出来的，不需要任何稳定技术就可以继续下去。周期状态的稳定性是通过Hill方法确定的：Floquet分析的频域对应物。灵敏度图，用于开环控制和物理不稳定性识别，使用投影算子的伴随直接评估。此外，我们为底层线性系统的分辨率提出了一种高效且鲁棒的迭代算法。首先，在费根鲍姆（Feigenbaum）路线上将新方法应用于Lorenz系统中的混乱状态。其次，研究了在周期性涡流脱落过程中，经过圆柱体向三维状态的转变。这种流动情况可以通过与文献中提出的先前结果进行系统比较来验证灵敏度方法。最后，考虑通过两个并排圆柱体过渡到准周期状态。最后两种情况也可以用来测试所提出的迭代算法的性能。我们为底层线性系统的分辨率提出了一种高效且鲁棒的迭代算法。首先，在费根鲍姆（Feigenbaum）路线上将新方法应用于Lorenz系统中的混乱状态。其次，研究了在周期性涡流脱落过程中，经过圆柱体向三维状态的转变。这种流动情况可以通过与文献中提出的先前结果进行系统比较来验证灵敏度方法。最后，考虑通过两个并排圆柱体过渡到准周期状态。最后两种情况也可以用来测试所提出的迭代算法的性能。我们为底层线性系统的分辨率提出了一种高效且鲁棒的迭代算法。首先，在费根鲍姆（Feigenbaum）路线上将新方法应用于Lorenz系统中的混乱状态。其次，研究了在周期性涡流脱落过程中，经过圆柱体向三维状态的转变。这种流动情况可以通过与文献中提出的先前结果进行系统比较来验证灵敏度方法。最后，考虑通过两个并排圆柱体过渡到准周期状态。最后两种情况也可以用来测试所提出的迭代算法的性能。研究了通过圆柱体周期性涡流脱落过程中向三维状态的转变。这种流动情况可以通过与文献中提出的先前结果进行系统比较来验证灵敏度方法。最后，考虑通过两个并排圆柱体过渡到准周期状态。最后两种情况也可以用来测试所提出的迭代算法的性能。研究了通过圆柱体周期性涡流脱落过程中向三维状态的转变。这种流动情况可以通过与文献中提出的先前结果进行系统比较来验证灵敏度方法。最后，考虑通过两个并排圆柱体过渡到准周期状态。最后两种情况也可以用来测试所提出的迭代算法的性能。