SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 59, Issue 3, Page 1218-1244, January 2021.
We study the conforming finite element spaces $\Sigma_{0}^{h,k}(\Omega) \subset H^2_0(\Omega)$, ${V}^{h,k}_0(\Omega) \subset {H}^1_0(\Omega)$, and $Q_{0}^{h,k}(\Omega) \subset L^2_0(\Omega)$ recently proposed by Falk and Neilan [SIAM J. Numer. Anal., 51 (2013), pp. 1308--1326] and establish necessary and sufficient conditions on the mesh under which the spaces satisfy an exact sequence property. The exact sequence property implies that the discrete solution to the Stokes problem is pointwise divergence free and hence mass conserving. In addition, it is shown that, under these conditions, the pair ${V}^{h,k}_0(\Omega) \times Q_{0}^{h,k}(\Omega)$ satisfies the inf-sup condition for Stokes flow uniformly in both the mesh size $h$ and polynomial degree $k$. The main tool is the construction of a continuous right inverse of the divergence operator on the space $Q^{h,k}_{0}(\Omega)$ which is bounded uniformly in both $h$ and $k$. Finally, we compute the actual values of the inf-sup constant. In subsequent work, we establish optimal $hp$ approximation results for these spaces. In summary, this means that the pair ${V}_{0}^{h,k}(\Omega) \times Q_{0}^{h,k}(\Omega)$ (a) is pointwise mass conserving, (b) is uniformly inf-sup stable in both $h$ and $k$, and (c) gives optimal error estimates in both $h$ and $k$. At the time of writing, these seem to be the only conforming spaces on triangles shown to satisfy (a)--(c).

中文翻译：

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斯托克斯流量的质量守恒混合$ hp $ -FEM近似值。第一部分：均匀稳定性

SIAM数值分析学报，第59卷，第3期，第1218-1244页，2021年1月。
我们研究一致的有限元空间$ \ Sigma_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）\子集H ^ 2_0（\ Omega）$，$ {V} ^ {h，k} _0（\ Omega）\子集{H} ^ 1_0（\ Omega）$和$ Q_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）\子集L ^ 2_0（\ Omega）$由Falk和Neilan [SIAM J. Numer。Anal。，51（2013），pp。1308--1326]，并在网格上建立必要且充分的条件，在这些条件下空间满足确切的序列属性。确切的序列性质意味着Stokes问题的离散解是无逐点发散的，因此是质量守恒的。另外，表明在这些条件下，对$ {V} ^ {h，k} _0（\ Omega）\ times Q_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）$满足在网格大小$ h $和多项式度数$ k $中Stokes的均等流动条件。主要工具是在空间$ Q ^ {h，k} _ {0}（\ Omega）$上构造发散算符的连续右逆，该空间均以$ h $和$ k $为边界。最后，我们计算inf-sup常数的实际值。在随后的工作中，我们为这些空间建立最佳的$ hp $近似结果。总之，这意味着对$ {V} _ {0} ^ {h，k}（\ Omega）\ times Q_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）$（a）是逐点守恒的，（b）在$ h $和$ k $中均一致稳定，并且（c）在$ h $和$ k $中均给出最佳误差估计。在撰写本文时，这些似乎是三角形上满足（a）-（c）的唯一一致空间。我们为这些空间建立最佳的$ hp $近似结果。总而言之，这意味着对$ {V} _ {0} ^ {h，k}（\ Omega）\ times Q_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）$（a）是按点守恒的，（b）在$ h $和$ k $中均一致稳定，并且（c）在$ h $和$ k $中均给出最佳误差估计。在撰写本文时，这些似乎是三角形上满足（a）-（c）的唯一一致空间。我们为这些空间建立最佳的$ hp $近似结果。总之，这意味着对$ {V} _ {0} ^ {h，k}（\ Omega）\ times Q_ {0} ^ {h，k}（\ Omega）$（a）是逐点守恒的，（b）在$ h $和$ k $中均一致稳定，并且（c）在$ h $和$ k $中均给出最佳误差估计。在撰写本文时，这些似乎是三角形上满足（a）-（c）的唯一一致空间。