Discrepancy is a natural measure for the inherent complexity of set systems with many applications in mathematics and computer science. The discrepancy of a set system $(U,\mathscr S)$ is the minimum over all mappings $\chi\colon U\rightarrow\{-1,1\}$ of $\max_{S\in\mathscr S}\bigl|\sum_{v\in S}\chi(v)\bigr|$. We study the discrepancy of set systems that are first-order definable in sparse graph classes. We prove that all the set systems definable in a monotone class $\mathscr C$ have bounded discrepancy if and only if $\mathscr C$ has bounded expansion, and that they have hereditary discrepancy at most $|U|^{c}$ (for some~$c<1/2$) if and only if $\mathscr C$ is nowhere dense. However, if $\mathscr C$ is somewhere dense, then for every positive integer $d$ there is a set system of $d$-tuples definable in $\mathscr C$ with discrepancy $\Omega(|U|^{1/2})$. From the algorithmic point of view, we prove that if $\mathscr C$ is a class of graphs with bounded expansion and $\phi(\bar x;\bar y)$ is a first-order formula, then for each input graph $G\in\mathscr C$, a mapping $\chi:V(G)^{|\bar x|}\rightarrow\{-1,1\}$ witnessing the boundedness of the discrepancy of the set-system defined by~$\phi$ can be computed in $\mathcal O(|G|^{|\bar x|})$ time. We also deduce that for such set-systems, when $|\bar x|=1$, $\varepsilon$-nets of size $\mathcal{O}(1/\varepsilon)$ can be computed in time $\mathcal{O}(|G|\,\log |G|)$ and $\varepsilon$-approximations of size $\mathcal{O}(1/\varepsilon)$ can be computed in polynomial time.

中文翻译：

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关于稀疏图类中可定义的集合系统的差异

差异是设置系统固有的复杂性的自然度量，它在数学和计算机科学中有许多应用。集合系统$（U，\ mathscr S）$的差异是$ \ max_ {S \ in \ mathscr S}的所有映射$ \ chi \冒号U \ rightarrow \ {-1,1 \} $中的最小值\ bigl | \ sum_ {v \ in S} \ chi（v）\ bigr | $。我们研究了在稀疏图类中一阶可定义的集合系统的差异。我们证明，在且仅当$ \ mathscr C $具有界线扩展时，所有在单调类$ \ mathscr C $中可定义的集合系统都具有界线差异，并且它们最多具有遗传差异$ | U | ^ {c} $ （对于〜$ c <1/2 $）（且仅当$ \ mathscr C $无处密集）时。但是，如果$ \ mathscr C $密集，那么对于每个正整数$ d $，都有一个$ d $ -tuples集合系统，可在$ \ mathscr C $中定义，且有差异$ \ Omega（| U | ^ {1/2}）$。从算法角度来看，我们证明如果$ \ mathscr C $是一类有界展开图，而$ \ phi（\ bar x; \ bar y）$是一阶公式，则对于每个输入图$ G \ in \ mathscr C $，映射$ \ chi：V（G）^ {| \ bar x |} \ rightarrow \ {-1,1 \} $见证了定义的集合系统差异的有界by〜$ \ phi $可以在$ \ mathcal O（| G | ^ {| \ bar x |}）$时间中计算。我们还推断出，对于这样的集合系统，当$ | \ bar x | = 1 $时，可以及时计算$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$大小的$ \ varepsilon $ -nets可以在多项式时间内计算{O}（| G | \，\ log | G |）$和$ \ varepsilon $-大小为$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$的近似值。我们证明如果$ \ mathscr C $是一类有界展开图，而$ \ phi（\ bar x; \ bar y）$是一阶公式，则对于每个输入图$ G \ in \ mathscr C $，一个映射$ \ chi：V（G）^ {| \ bar x |} \ rightarrow \ {-1,1 \} $见证了〜$ \ phi $所定义的集合系统差异的界以$ \ mathcal O（| G | ^ {| \ bar x |}）$时间计算。我们还推断出，对于这样的集合系统，当$ | \ bar x | = 1 $时，可以及时计算$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$大小的$ \ varepsilon $ -nets可以在多项式时间内计算{O}（| G | \，\ log | G |）$和$ \ varepsilon $-大小为$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$的近似值。我们证明如果$ \ mathscr C $是一类有界展开图，而$ \ phi（\ bar x; \ bar y）$是一阶公式，则对于每个输入图$ G \ in \ mathscr C $，一个映射$ \ chi：V（G）^ {| \ bar x |} \ rightarrow \ {-1,1 \} $见证了〜$ \ phi $所定义的集合系统差异的界以$ \ mathcal O（| G | ^ {| \ bar x |}）$时间计算。我们还推断出，对于这样的集合系统，当$ | \ bar x | = 1 $时，可以及时计算$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$大小的$ \ varepsilon $ -nets可以在多项式时间内计算{O}（| G | \，\ log | G |）$和$ \ varepsilon $-大小为$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$的近似值。可以在$ \ mathcal O（| G | ^ {| \ bar x |}）$时间中计算1 \} $见证由〜$ \ phi $定义的集合系统的差异的有界性。我们还推断出，对于这样的集合系统，当$ | \ bar x | = 1 $时，可以及时计算$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$大小的$ \ varepsilon $ -nets可以在多项式时间内计算{O}（| G | \，\ log | G |）$和$ \ varepsilon $-大小为$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$的近似值。可以在$ \ mathcal O（| G | ^ {| \ bar x |}）$时间中计算1 \} $见证由〜$ \ phi $定义的集合系统的差异的有界性。我们还推断出，对于这样的集合系统，当$ | \ bar x | = 1 $时，可以及时计算$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$大小的$ \ varepsilon $ -nets可以在多项式时间内计算{O}（| G | \，\ log | G |）$和$ \ varepsilon $-大小为$ \ mathcal {O}（1 / \ varepsilon）$的近似值。