In this work, we study the spectral property of generalized Sierpinski-type self-affine measures ${\mu }_{M,D}$ on ${\mathbb{R}}^2$ generated by an expanding integer matrix $M\in M_2(\mathbb{Z})$ with $\det (M)\in 3\mathbb{Z}$ and a non-collinear integer digit set $D=\{{(0,0)}^t,{({\alpha }_1,{\alpha }_2)}^t,{({\beta }_1,{\beta }_2)}^t\}$ with ${\alpha }_1{\beta }_2-{\alpha }_2{\beta }_1\in 3\mathbb{Z}$. We give the sufficient and necessary conditions for ${\mu }_{M,D}$ to be a spectral measure, i.e., there exists a countable subset $\mathrm{\Lambda }\subset {\mathbb{R}}^2$ such that $E(\mathrm{\Lambda })=\{e^{2\pi i〈\lambda ,x〉}:\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ forms an orthonormal basis for $L^2({\mu }_{M,D})$. This completely settles the spectrality of the self-affine measure ${\mu }_{M,D}$.

中文翻译：

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广义Sierpinski型自仿射测度的谱。

在这项工作中，我们研究广义Sierpinski型自仿射测度的光谱特性 ${\mu }_{\mathrm{中号}，d}$ 上 ${\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}$ 由扩展的整数矩阵生成 $\mathrm{中号}\in {\mathrm{中号}}_{\mathrm{2个}}（\mathbb{ž}）$ 和 $\mathrm{t}（\mathrm{中号}）\in 3\mathbb{ž}$ 和一个非共线整数位集 $d=\{{（0，0）}^{Ť}，{（{\alpha }_{\mathrm{1个}}，{\alpha }_{\mathrm{2个}}）}^{Ť}，{（{\beta }_{\mathrm{1个}}，{\beta }_{\mathrm{2个}}）}^{Ť}\}$ 和 ${\alpha }_{\mathrm{1个}}{\beta }_{\mathrm{2个}}-{\alpha }_{\mathrm{2个}}{\beta }_{\mathrm{1个}}\in 3\mathbb{ž}$。我们提供充分和必要的条件${\mu }_{\mathrm{中号}，d}$ 进行频谱测量，即存在一个可数的子集 $\mathrm{\Lambda }\subset {\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}$ 这样 $E（\mathrm{\Lambda }）=\{{Ë}^{\mathrm{2个}\pi \mathrm{一世}〈\lambda ，X〉}：\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 构成 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{2个}}（{\mu }_{\mathrm{中号}，d}）$。这完全解决了自仿射测度的频谱问题${\mu }_{\mathrm{中号}，d}$。