We show that a set $\mathcal{A}$ of lines in $\mathrm{\text{PG}}(4,q)$, q even, is the set of secant lines of a parabolic (non-singular) quadric if and only if $\mathcal{A}$ satisfies the following three conditions:

(I)

every point of $\mathrm{\text{PG}}(4,q)$ lies on $0,\frac{1}{2}{q}^3$ or $q^3$ lines of $\mathcal{A}$;

(II)

every plane of $\mathrm{\text{PG}}(4,q)$ contains 0, $\frac{1}{2}q(q+1)$ or $q^2$ lines of $\mathcal{A}$; and

(III)

every hyperplane of $\mathrm{\text{PG}}(4,q)$ contains $\frac{1}{2}{q}^2(q^2+1)$, $\frac{1}{2}{q}^3(q+1)$ or $\frac{1}{2}{q}^2{(q+1)}^2$ lines of $\mathcal{A}$.

中文翻译：

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表征的割线Q（4，q），q甚至

我们展示了一套 $\mathcal{一种}$ 行中 $\mathrm{\text{PG}}（4，q）$，q连，是一组当且仅当抛物线（非奇异）二次曲面的割线$\mathcal{一种}$ 满足以下三个条件：

（一世）

每一点 $\mathrm{\text{PG}}（4，q）$ 位于 $0，\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}{q}^3$ 或者 $q^3$ 的线 $\mathcal{一种}$;

（二）

的每一架飞机 $\mathrm{\text{PG}}（4，q）$ 包含0， $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}q（q+\mathrm{1个}）$ 或者 $q^{\mathrm{2个}}$ 的线 $\mathcal{一种}$; 和

（三）

的每个超平面 $\mathrm{\text{PG}}（4，q）$ 包含 $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}{q}^{\mathrm{2个}}（q^{\mathrm{2个}}+\mathrm{1个}）$， $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}{q}^3（q+\mathrm{1个}）$ 或者 $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}{q}^{\mathrm{2个}}{（q+\mathrm{1个}）}^{\mathrm{2个}}$ 的线 $\mathcal{一种}$。