SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 35, Issue 2, Page 934-947, January 2021.
Treedepth, a more restrictive graph width parameter than treewidth and pathwidth, plays a major role in the theory of sparse graph classes. We show that there exists a constant $C$ such that for all positive integers $a,b$ and a graph $G$, if the treedepth of $G$ is at least $Cab$, then the treewidth of $G$ is at least $a$ or $G$ contains a subcubic (i.e., of maximum degree at most 3) tree of treedepth at least $b$ as a subgraph. As a direct corollary, we obtain that every graph of treedepth $\Omega(k^3)$ either is of treewidth at least $k$, contains a subdivision of full binary tree of depth $k$, or contains a path of length $2^k$. This improves the bound of $\Omega(k^5 \log^2 k)$ of Kawarabayashi and Rossman [Proceedings of the 2018 Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, pp. 234--246]. We also show an application of our techniques for approximation algorithms of treedepth: given a graph $G$ of treedepth $k$ and treewidth $t$, one can in polynomial time compute a treedepth decomposition of $G$ of width $\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$. This improves upon a bound of $\mathcal{O}(kt^2 \log t)$ stemming from a tradeoff between known results. The main technical ingredient in our result is a proof that every tree of treedepth $d$ contains a subcubic subtree of treedepth at least $d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$.

中文翻译：

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树深度的排除次要近似的改进边界

SIAM 离散数学杂志，第 35 卷，第 2 期，第 934-947 页，2021 年 1 月。
树深度是比树宽和路径宽度更具限制性的图宽度参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明存在一个常数 $C$ 使得对于所有正整数 $a,b$ 和图 $G$，如果 $G$ 的树深度至少为 $Cab$，则 $G$ 的树宽为至少 $a$ 或 $G$ 包含树深度至少为 $b$ 的亚三次（即最大度数最多为 3）树作为子图。作为直接推论，我们得到树深度 $\Omega(k^3)$ 的每个图要么是树宽至少为 $k$，包含深度为 $k$ 的完整二叉树的细分，或者包含长度为 $k$ 的路径$2^k$。这提高了 Kawarabayashi 和 Rossman [2018 年度 ACM-SIAM 离散算法研讨会论文集，第 234--246 页]的 $\Omega(k^5 \log^2 k)$ 的界限。我们还展示了我们的技术在树深度近似算法中的应用：给定树深度 $k$ 和树宽 $t$ 的图 $G$，可以在多项式时间内计算宽度 $\mathcal{ O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了 $\mathcal{O}(kt^2 \log t)$ 的界限，该界限源于已知结果之间的权衡。我们结果中的主要技术成分是证明每棵树深度为 $d$ 的树都包含一个至少为 $d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$ 的次三次子树。