Sets of range uniqueness for multivariate polynomials and linear functions with rank k,Linear and Multilinear Algebra

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Sets of range uniqueness for multivariate polynomials and linear functions with rank k
Linear and Multilinear Algebra ( IF 0.9 ) Pub Date : 2021-05-10 , DOI: 10.1080/03081087.2021.1922338
Lorenz Halbeisen ₁ , Norbert Hungerbühler ₁ , Salome Schumacher ₁ , Guo Xian Yau ₁

Affiliation

Let $F$ be a set of functions with a common domain X and a common range Y. A set $S \subseteq X$ is called a set of range uniqueness (SRU) for $F$ , if for all $f, g \in F$ , $f [S] = g [S] \Rightarrow f = g .$ Let $P_{n, k}$ be the set of all real polynomials in n variables of degree at most k and let $L_{k} (R^{n}, R^{n})$ be the set of all linear functions $f : R^{n} \to R^{n}$ with rank k. We show that there are SRU's for $P_{n, k}$ of cardinality $2 (\binom{n + k}{k}) - 1$ , but there are no such SRU's of size $2 (\binom{n + k}{k}) - 2$ or less. Moreover, we show that there are SRU's for $L_{k} (R^{n}, R^{n})$ of size $\{\begin{cases} 2 n - 1 & i f k = 1, \\ 2 n - k + 1 & i f k > 1, \end{cases}$ but there are no such SRU's of smaller size.

中文翻译：

多元多项式和秩为 k 的线性函数的范围唯一性集

让 $F$ 是具有公共域X和公共值域Y的一组函数。一套 $S \subseteq X$ 称为范围唯一性集 (SRU) $F$ ，如果对于所有 $f, 克 ε F$ , $f [S] = 克 [S] \Rightarrow f = 克。$ 让 $磷_{n, k}$ 是n 个次数最多为k的变量中的所有实多项式的集合，令 $L_{k} （右^{n}, 右^{n} ）$ 是所有线性函数的集合 $f : 右^{n} \to 右^{n}$ 等级为k 。我们证明有 SRU $磷_{n, k}$ 基数的 $2 (\binom{n + k}{k}) - 1$ ，但是没有这样大小的 SRU $2 (\binom{n + k}{k}) - 2$ 或更少。此外，我们表明存在 SRU $L_{k} （右^{n}, 右^{n} ）$ 尺寸的 $\{\begin{matrix} 2 n - 1 & 我 f k = 1, \\ 2 n - k + 1 & 我 f k > 1, \end{matrix}$ 但没有这样的更小尺寸的SRU。

更新日期：2021-05-10

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