Szegő proved that the trigonometric inequality

$$0 < \sum\limits_{k = 1}^n {\left({n - k + 1} \right)\left({n - k + 2} \right)\left({\cos \left({kx} \right) - \cos \left({ky} \right)} \right)}$$

holds for all integers n ≥ 1and real numbers x, y with 0 ≥ x ≥ π/2, α ≥ y ≥ π, where α = 1.98231 …. We show that the inequality is valid for a larger domain, namely for all n ≥ 1and x ∈ [0, π/2], y ∈ (π/2, π]. An application of our result yields that if a ∈ [−1, 0) and b ∈ [0, 1], then the function

$${G_{a,b}}\left(z \right) = {z \over {{{\left({1 - z} \right)}^3}}}\left({{{z - a} \over {{z^2} - 2az + 1}} - {{z - b} \over {{z^2} - 2bz + 1}}} \right)$$

is absolutely monotonic on [0, 1).

中文翻译：

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关于Szegő的三角不等式

塞格证明了三角不等式

$$ 0 <\ sum \ limits_ {k = 1} ^ n {\ left（{n-k + 1} \ right）\ left（{n-k + 2} \ right）\ left（{\ cos \ left（ {kx} \ right）-\ cos \ left（{ky} \ right）} \ right）} $$

适用于所有整数Ñ ≥1和实数X，Y 0≥ X ≥ π / 2，α ≥ ÿ ≥ π，其中α = 1.98231 ...。我们表明，在不等式的有效期为一个较大的域，即，用于所有Ñ ≥1和X ∈[0，π / 2]，ÿ ∈（π / 2，π我们的结果产率，如果的]中的应用。一个∈[ - 1，0）和b ∈[0，1]，则函数

$$ {G_ {a，b}} \ left（z \ right）= {z \ over {{{\ left（{1-z} \ right）} ^ 3}}}} \ left（{{{z- a} \ over {{z ^ 2}-2az + 1}}-{{z-b} \ over {{z ^ 2}-2bz + 1}}} \ right）$$

在[0，1）上绝对单调。