In this article, we study uncertainty quantification for flows in heterogeneous porous media. We use a Bayesian approach where the solution to the inverse problem is given by the posterior distribution of the permeability field given the flow and transport data. Permeability fields within facies are assumed to be described by two-point correlation functions, while interfaces that separate facies are represented via smooth pseudo-velocity fields in a level set formulation to get reduced dimensional parameterization. The permeability fields within facies and pseudo-velocity fields representing interfaces can be described using Karhunen–Loève (K-L) expansion, where one can select dominant modes. We study the error of posterior distributions introduced in such truncations by estimating the difference in the expectation of a function with respect to full and truncated posteriors. The theoretical result shows that this error can be bounded by the tail of K-L eigenvalues with constants independent of the dimension of discretization. This result guarantees the feasibility of such truncations with respect to posterior distributions. To speed up Bayesian computations, we use an efficient two-stage Markov chain Monte Carlo (MCMC) method that utilizes mixed multiscale finite element method (MsFEM) to screen the proposals. The numerical results show the validity of the proposed parameterization to channel geometry and error estimations.

中文翻译：

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通过降维参数化对通道化储层进行贝叶斯不确定性量化

在本文中，我们研究了非均质多孔介质中流动的不确定性量化。我们使用贝叶斯方法，其中反问题的解决方案是在给定流量和输运数据的情况下，通过渗透率场的后验分布来给出的。假定相中的渗透性场由两点相关函数描述，而分离相的界面则通过水平集公式中的平滑伪速度场表示，以减少尺寸参数化。可以使用Karhunen-Loève（KL）展开来描述相内的渗透率场和表示界面的伪速度场，在其中可以选择主导模式。我们通过估计完整和截断后验函数对期望值的差异，研究了此类截断引入的后验分布的误差。理论结果表明，该误差可以由与离散化维数无关的常数的KL特征值的尾部限制。该结果保证了关于后验分布的这种截断的可行性。为了加快贝叶斯计算，我们使用了高效的两级马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，该方法利用混合多尺度有限元方法（MsFEM）来筛选建议。数值结果表明了所提出的参数化对通道几何形状和误差估计的有效性。理论结果表明，该误差可以由与离散化维数无关的常数的KL特征值的尾部限制。该结果保证了关于后验分布的这种截断的可行性。为了加快贝叶斯计算，我们使用了高效的两级马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，该方法利用混合多尺度有限元方法（MsFEM）来筛选建议。数值结果表明了所提出的参数化对通道几何形状和误差估计的有效性。理论结果表明，该误差可以由与离散化维数无关的常数的KL特征值的尾部限制。该结果保证了关于后验分布的这种截断的可行性。为了加快贝叶斯计算，我们使用了高效的两级马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，该方法利用混合多尺度有限元方法（MsFEM）来筛选建议。数值结果表明了所提出的参数化对通道几何形状和误差估计的有效性。我们使用有效的两级马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，该方法利用混合多尺度有限元方法（MsFEM）筛选建议。数值结果表明了所提出的参数化对通道几何形状和误差估计的有效性。我们使用有效的两级马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，该方法利用混合多尺度有限元方法（MsFEM）筛选建议。数值结果表明了所提出的参数化对通道几何形状和误差估计的有效性。