We address the question of whether geometric conditions on the given data can be preserved by a solution in (1) the Whitney extension problem, and (2) the Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár problem, both for ${\mathcal{C}}^m$ functions. Our results involve a certain loss of differentiability.

Problem (2) concerns the solution of a system of linear equations $A(x)G(x)=F(x)$, where A is a matrix of functions on ${\mathbb{R}}^n$, and $F,G$ are vector-valued functions. Suppose the entries of $A(x)$ are semialgebraic (or, more generally, definable in a suitable o-minimal structure). Then we find $r=r(m)$ such that, if $F(x)$ is definable and the system admits a ${\mathcal{C}}^r$ solution $G(x)$, then there is a ${\mathcal{C}}^m$ definable solution. Likewise in problem (1), given a closed definable subset X of ${\mathbb{R}}^n$, we find $r=r(m)$ such that if $g:X\to \mathbb{R}$ is definable and extends to a ${\mathcal{C}}^r$ function on ${\mathbb{R}}^n$, then there is a ${\mathcal{C}}^m$ definable extension.

我们解决以下问题：是否可以通过（1）惠特尼扩展问题和（2）Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár问题中的解来保留给定数据上的几何条件 ${\mathcal{C}}^{米}$职能。我们的结果包括一定程度的可微性损失。

问题（2）涉及线性方程组的解 $\mathrm{一种}（X）G（X）=F（X）$，其中A是以下函数的矩阵${\mathbb{[R}}^{ñ}$， 和 $F，G$是向量值函数。假设$\mathrm{一种}（X）$是半代数的（或更普遍地，可以以合适的o-最小结构定义）。然后我们发现$\mathrm{[R}=\mathrm{[R}（米）$ 这样，如果 $F（X）$ 是可定义的，系统允许 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{[R}}$ 解决方案 $G（X）$，然后有一个 ${\mathcal{C}}^{米}$可定义的解决方案。同样地，在问题（1），给定的封闭可定义子集X的${\mathbb{[R}}^{ñ}$， 我们发现 $\mathrm{[R}=\mathrm{[R}（米）$ 这样，如果 $G：X\to \mathbb{[R}$ 是可定义的，并延伸到 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{[R}}$ 功能开启 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$，然后有一个 ${\mathcal{C}}^{米}$ 可定义的扩展名。