Let $f\,:\,C\,\longrightarrow \,D$ be a nonconstant separable morphism between irreducible smooth projective curves defined over an algebraically closed field. We say that $f$ is genuinely ramified if ${\mathcal O}_D$ is the maximal semistable subbundle of $f_*{\mathcal O}_C$ (equivalently, the induced homomorphism $f_*\,:\, \pi _1^{\textrm{et}}(C)\,\longrightarrow \, \pi _1^{\textrm{et}}(D)$ of étale fundamental groups is surjective). We prove that the pullback $f^*E\,\longrightarrow \, C$ is stable for every stable vector bundle $E$ on $D$ if and only if $f$ is genuinely ramified.

中文翻译：

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拉回束的分枝覆盖图和稳定性

令 $f\,:\,C\,\longrightarrow \,D$ 是定义在代数闭域上的不可约光滑射影曲线之间的非常量可分态射。如果 ${\mathcal O}_D$ 是 $f_*{\mathcal O}_C$ 的最大半稳态子丛，我们说 $f$ 是真正的分支（等效地，诱导同态 $f_*\,:\, \pi _1^{\textrm{et}}(C)\,\longrightarrow \, \pi _1^{\textrm{et}}(D)$ 的 étale 基本群是满射的）。我们证明，当且仅当 $f$ 真正分支时，对于 $D$ 上的每个稳定向量束 $E$，回调 $f^*E\,\longrightarrow\,C$ 是稳定的。