For a partition λ of $n\in \mathbb{N}$, let $I_{\lambda }^{\mathrm{Sp}}$ be the ideal of $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ generated by all Specht polynomials of shape λ. In the previous paper, the second author showed that if $R/I_{\lambda }^{\mathrm{Sp}}$ is Cohen-Macaulay, then λ is either $(n-d,1,\dots ,1),(n-d,d)$, or $(d,d,1)$, and the converse is true if $\mathrm{char}(K)=0$. In this paper, we compute the Hilbert series of $R/I_{\lambda }^{\mathrm{Sp}}$ for $\lambda =(n-d,d)$ or $(d,d,1)$. Hence, we get the Castelnuovo-Mumford regularity of $R/I_{\lambda }^{\mathrm{Sp}}$, when it is Cohen-Macaulay. In particular, $I_{(d,d,1)}^{\mathrm{Sp}}$ has a $(d+2)$-linear resolution in the Cohen–Macaulay case.

中文翻译：

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Cohen-Macaulay Specht理想的规律性

对于λ的分区$ñ\in \mathbb{ñ}$， 让 ${\mathrm{一世}}_{\lambda }^{\mathrm{SP}}$ 成为理想 $\mathrm{[R}=ķ[X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{ñ}]$由形状为λ的所有Specht多项式生成。在上一篇论文中，第二作者表明，如果$\mathrm{[R}/{\mathrm{一世}}_{\lambda }^{\mathrm{SP}}$是Cohen-Macaulay，则λ是$（ñ-d，\mathrm{1个}，\dots ，\mathrm{1个}），（ñ-d，d）$， 或者 $（d，d，\mathrm{1个}）$，并且反之亦然，如果 $\mathrm{烧焦}（ķ）=0$。在本文中，我们计算了希尔伯特级数$\mathrm{[R}/{\mathrm{一世}}_{\lambda }^{\mathrm{SP}}$ 为了 $\lambda =（ñ-d，d）$ 或者 $（d，d，\mathrm{1个}）$。因此，我们得到了Castelnuovo-Mumford的正则性$\mathrm{[R}/{\mathrm{一世}}_{\lambda }^{\mathrm{SP}}$，当它是科恩-马考雷时。特别是，${\mathrm{一世}}_{（d，d，\mathrm{1个}）}^{\mathrm{SP}}$ 有一个 $（d+\mathrm{2个}）$Cohen–Macaulay情况下的线性分辨率。