In this paper, we derive new closed-form radial solutions for the following elliptic Liouville equation $△\varphi +\phi \left(x\right)e^{\varphi }=0\text{in}\Omega \subset {\mathbb{R}}^n,$ and its generalized equation $△\varphi +\phi \left(x\right)e^{\varphi }=f\left(x\right)\text{in}\Omega \subset {\mathbb{R}}^n,$ where $△$ is the Laplace operator, $\phi$ and $f$ are smooth positive functions.

中文翻译：

---

椭圆Liouville方程的径向解

在本文中，我们为以下椭圆Liouville方程导出新的闭式径向解 $△\varphi +\phi （X）{Ë}^{\varphi }=0\text{在}\Omega \subset {\mathbb{[R}}^{ñ}，$ 及其广义方程 $△\varphi +\phi （X）{Ë}^{\varphi }=F（X）\text{在}\Omega \subset {\mathbb{[R}}^{ñ}，$ 在哪里 $△$ 是拉普拉斯算子， $\phi$ 和 $F$ 是平稳的积极功能。