In our previous two papers, we studied (positive) 3D gadgets in origami extrusions which create a top face parallel to the ambient paper and two side faces sharing a ridge with two simple outgoing pleats. Then a natural problem comes up whether it is possible to construct a `negative' 3D gadget from any positive one having the same net without changing the outgoing pleats, that is, to sink the top and two side faces of any positive 3D gadget to the reverse side without changing the outgoing pleats. Of course, simply sinking the faces causes a tear of the paper, and thus we have to modify the crease pattern. There are two known constructions of negative 3D gadgets before ours, but they do not solve this problem because their outgoing pleats are different from positive ones. In the present paper we give an affirmative solution to the above problem. For this purpose, we present three constructions of negative 3D gadgets with a supporting triangle on the back side, which are based on our previous ones of positive 3D gadgets. The first two are an extension of those presented in our previous paper, and the third is new. We prove that our first and third constructions solve the problem. Our solutions enable us to deal with positive and negative 3D gadgets on the same basis, so that we can construct from an origami extrusion constructed with 3D gadgets its negative using the same pleats if there are no interferences among the 3D gadgets. We also treat repetition/division of negative 3D gadgets under certain conditions, which reduces their interferences with others.

中文翻译：

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折纸拉伸中的负3D小工具，背面带有支撑三角形

在我们之前的两篇论文中，我们研究了（正）折纸拉伸中的3D小工具，这些小工具创建了一个与环境纸平行的顶面，两个侧面共用一个带有两个简单向外折褶的山脊。然后出现一个自然的问题，是否有可能从任何具有相同网状的正模型中构造一个“负” 3D工具，而无需更改输出褶皱，也就是说，将任何正3D工具的顶部和侧面沉入该3D工具中。背面不改变出褶。当然，仅使表面下陷会导致纸张撕裂，因此我们必须修改折痕图案。消极3D小工具有两种已知的构造，但它们不能解决此问题，因为它们的输出褶皱与肯定的褶皱不同。在本文中，我们对上述问题给出了肯定的解决方案。为此，我们提出了三种负3D小工具的结构，它们在背面具有支撑三角形，这是基于我们先前的正3D小工具制成的。前两个是我们先前论文中介绍的内容的扩展，而第三个是新的。我们证明我们的第一种和第三种结构可以解决该问题。我们的解决方案使我们能够在相同的基础上处理正面和负面的3D小工具，因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，使用3D小工具的负压构造的折纸挤压构造。在某些情况下，我们还会处理负面3D小工具的重复/分割，从而减少了它们对其他小工具的干扰。我们介绍了三种负极3D小工具的结构，这些构造的背面带有一个支撑三角形，这些构造基于我们先前的正极3D小工具。前两个是我们先前论文中介绍的内容的扩展，而第三个是新的。我们证明我们的第一种和第三种结构可以解决该问题。我们的解决方案使我们能够在相同的基础上处理正面和负面的3D小工具，因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，使用3D小工具的负压构造的折纸挤压构造。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。我们介绍了三种负极3D小工具的结构，这些构造的背面带有一个支撑三角形，这些构造基于我们先前的正极3D小工具。前两个是我们先前论文中介绍的内容的扩展，而第三个是新的。我们证明我们的第一种和第三种结构可以解决该问题。我们的解决方案使我们能够在相同的基础上处理正面和负面的3D小工具，因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，使用3D小工具的负压构造的折纸挤压构造。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。前两个是我们先前论文中介绍的内容的扩展，而第三个是新的。我们证明我们的第一种和第三种结构可以解决该问题。我们的解决方案使我们能够在相同的基础上处理正面和负面的3D小工具，因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，使用3D小工具的负压构造的折纸挤压构造。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。前两个是我们先前论文中介绍的内容的扩展，而第三个是新的。我们证明我们的第一种和第三种结构可以解决该问题。我们的解决方案使我们能够在相同的基础上处理正面和负面的3D小工具，因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，使用3D小工具的负压构造的折纸挤压构造。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，用3D小工具构造的折纸挤压件构造为负片。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。因此，如果3D小工具之间没有干扰，我们可以使用相同的褶皱，用3D小工具构造的折纸挤压件构造为负片。在某些情况下，我们还会对负3D小工具进行重复/分割，以减少它们与其他3D小工具的干扰。