Let $\mathcal{O}$ be the ring of integers of a number field, and let $n\ge 3$. This paper studies bi-interpretability of the ring of integers $\mathbb{Z}$ with the special linear group ${\mathrm{\text{SL}}}_n(\mathcal{O})$, the general linear group ${\mathrm{\text{GL}}}_n(\mathcal{O})$ and the subgroup ${\mathrm{\text{T}}}_n(\mathcal{O})$ of ${\mathrm{\text{GL}}}_n(\mathcal{O})$ consisting of all the uppertriangular matrices. For each of these groups we provide a complete characterization of arbitrary models of their complete first-order theories.

中文翻译：

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代数整数上一些经典矩阵群的完整一阶理论

让 $\mathcal{Ø}$ 是数字字段的整数环，并令 $ñ\ge 3$。本文研究整数环的双向可解释性$\mathbb{ž}$ 与特殊的线性组 ${\mathrm{\text{SL}}}_{ñ}（\mathcal{Ø}）$，一般线性组 ${\mathrm{\text{GL}}}_{ñ}（\mathcal{Ø}）$ 和子组 ${\mathrm{\text{Ť}}}_{ñ}（\mathcal{Ø}）$ 的 ${\mathrm{\text{GL}}}_{ñ}（\mathcal{Ø}）$由所有上三角矩阵组成。对于这些小组中的每一个，我们都提供其完整一阶理论的任意模型的完整表征。