Symmetric monoidal theories (SMTs) generalise algebraic theories in a way that make them suitable to express resource-sensitive systems, in which variables cannot be copied or discarded at will. In SMTs, traditional tree-like terms are replaced by string diagrams, topological entities that can be intuitively thoughts as diagrams of wires and boxes. Recently, string diagrams have become increasingly popular as a graphical syntax to reason about computational models across diverse fields, including programming language semantics, circuit theory, quantum mechanics, linguistics, and control theory. In applications, it is often convenient to implement the equations appearing in SMTs as rewriting rules. This poses the challenge of extending the traditional theory of term rewriting, which has been developed for algebraic theories, to string diagrams. In this paper, we develop a mathematical theory of string diagram rewriting for SMTs. Our approach exploits the correspondence between string diagram rewriting and double pushout (DPO) rewriting of certain graphs, introduced in the first paper of this series. Such a correspondence is only sound when the SMT includes a Frobenius algebra structure. In the present work, we show how an analogous correspondence may be established for arbitrary SMTs, once an appropriate notion of DPO rewriting (which we call convex) is identified. As proof of concept, we use our approach to show termination of two SMTs of interest: Frobenius semi-algebras and bialgebras.

中文翻译：

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字符串图重写理论II：具有对称单曲面结构的重写

对称单项式理论（SMT）泛化了代数理论，使其适合于表达对资源敏感的系统，在该系统中，变量不能随意复制或丢弃。在SMT中，传统的树状术语被字符串图代替，这些图可以直观地认为是电线和盒子的图，是拓扑实体。近年来，字符串图已成为一种越来越流行的图形语法，用于推理跨领域的计算模型，包括编程语言语义，电路理论，量子力学，语言学和控制理论。在应用程序中，将SMT中出现的方程式实现为重写规则通常很方便。这就提出了将传统的术语改写理论扩展到字符串图的挑战，传统的术语改写理论是为代数理论开发的。在本文中，我们开发了SMT字符串图重写的数学理论。我们的方法利用了本系列的第一篇论文中介绍的字符串图重写和某些图形的双重推送（DPO）重写之间的对应关系。仅当SMT包含Frobenius代数结构时，这种对应关系才是正确的。在当前的工作中，我们显示了一旦识别出适当的DPO重写概念（我们称为凸），就可以为任意SMT建立类似的对应关系。作为概念证明，我们使用我们的方法来显示两个感兴趣的SMT的终止：Frobenius半代数和双代数。我们的方法利用了本系列的第一篇论文中介绍的字符串图重写和某些图形的双重推送（DPO）重写之间的对应关系。仅当SMT包含Frobenius代数结构时，这种对应关系才是正确的。在当前的工作中，我们显示了一旦识别出适当的DPO重写概念（我们称为凸），就可以为任意SMT建立类似的对应关系。作为概念证明，我们使用我们的方法来显示两个感兴趣的SMT的终止：Frobenius半代数和双代数。我们的方法利用了本系列的第一篇论文中介绍的字符串图重写和某些图形的双重推送（DPO）重写之间的对应关系。仅当SMT包含Frobenius代数结构时，这种对应关系才是正确的。在当前的工作中，我们显示了一旦识别出适当的DPO重写概念（我们称为凸），就可以为任意SMT建立类似的对应关系。作为概念证明，我们使用我们的方法来显示两个感兴趣的SMT的终止：Frobenius半代数和双代数。一旦确定了适当的DPO重写概念（我们称为“凸”）。作为概念证明，我们使用我们的方法来显示两个感兴趣的SMT的终止：Frobenius半代数和双代数。一旦确定了适当的DPO重写概念（我们称为“凸”）。作为概念证明，我们使用我们的方法来显示两个感兴趣的SMT的终止：Frobenius半代数和双代数。