A $\mathrm{\Gamma }$‐magic rectangle set $MR{S}_{\mathrm{\Gamma }}\left(a,b;c\right)$ of order $abc$ is a set of $c$ arrays of size $\left(a\times b\right)$ whose entries are elements of a finite Abelian group $\mathrm{\Gamma }$ of order $abc$, each appearing once, with all row sums in each rectangle equal to a constant $\omega \in \mathrm{\Gamma }$ and all column sums in each rectangle equal to a constant $\delta \in \mathrm{\Gamma }$. There is known a complete characteristic of a ${\text{MRS}}_{\mathrm{\Gamma }}\left(a,b;c\right)$ for $\left\{a,b\right\}\ne \left\{2k+1,2^{\alpha }\right\}$ for positive integers $k,\alpha$. The case $\left\{a,b\right\}=\left\{2k+1,2^{\alpha }\right\}$ is unsolved for $\alpha >1$. In this paper we show that a ${\text{MRS}}_{\mathrm{\Gamma }}\left(2k+1,4;4l+2\right)$ exists if and only if the group $\mathrm{\Gamma }$ has more than one involution.

中文翻译：

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关于魔术矩形集MRSΓ（2k + 1,4; 4l + 2）的注释

一种 $\mathrm{\Gamma }$‐魔术矩形套 $\mathrm{中号}\mathrm{[R}{\mathrm{小号}}_{\mathrm{\Gamma }}（\mathrm{一种}，b;C）$ 顺序 $\mathrm{一种}bC$ 是一套 $C$ 大小数组 $（\mathrm{一种}\times b）$ 其条目是有限的Abelian组的元素 $\mathrm{\Gamma }$ 顺序 $\mathrm{一种}bC$，每个出现一次，每个矩形中的所有行总和等于一个常数 $\omega \in \mathrm{\Gamma }$ 并且每个矩形中的所有列总和等于一个常数 $\delta \in \mathrm{\Gamma }$。已知一个完整的特征${\text{太太}}_{\mathrm{\Gamma }}（\mathrm{一种}，b;C）$ 为了 $\left\{\mathrm{一种}，b\right\}\ne \left\{\mathrm{2个}ķ+\mathrm{1个}，{\mathrm{2个}}^{\alpha }\right\}$ 对于正整数 $ķ，\alpha$。案子$\left\{\mathrm{一种}，b\right\}=\left\{\mathrm{2个}ķ+\mathrm{1个}，{\mathrm{2个}}^{\alpha }\right\}$ 尚未解决 $\alpha >\mathrm{1个}$。在本文中，我们表明${\text{太太}}_{\mathrm{\Gamma }}（\mathrm{2个}ķ+\mathrm{1个}，4;4升+\mathrm{2个}）$ 仅当该组存在时才存在 $\mathrm{\Gamma }$ 有多次内卷。