SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 53, Issue 2, Page 2523-2566, January 2021.
In a classical survey [Mathematics in Industrial Problems, Springer-Verlag, New York, 1989, Chapter 16.2], Friedman proposed an open problem on the collision of two incompressible jets emerging from two axially symmetric nozzles. In this paper, we are concerned with the mathematical theory on this collision problem, and establish the well-posedness theory on hydrodynamic impinging outgoing jets issuing from two coaxial axially symmetric nozzles. More precisely, we show that for any given mass fluxes $M_1>0$ and $M_2<0$ in two nozzles, respectively, there exists an incompressible, inviscid impinging outgoing jet with contact discontinuity, which issues from two given semi-infinitely long axially symmetric nozzles and extends to infinity. Moreover, the constant pressure free stream surfaces of the impinging jet initiate smoothly from the mouths of the two nozzles and shrink to some asymptotic conical surface. There exists a smooth surface separating the two incompressible fluids and the contact discontinuity occurs on the surface. Furthermore, we show that there is no stagnation point in the flow field and its closure, except one point on the symmetric axis. Some asymptotic behavior of the impinging jet in upstream and downstream, geometric properties of the free stream surfaces are also obtained. The main results in this paper solve the open problem on the collision of two incompressible axially symmetric jets in [Friedman's book].

中文翻译：

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从两个轴对称通道发出的两个喷气机的稳定碰撞

SIAM数学分析杂志，第53卷，第2期，第2523-2566页，2021年1月。
在经典的调查中[工业问题中的数学，纽约，施普林格出版社，1989年，第16.2章]，弗里德曼提出了关于两个轴向对称喷嘴喷出的两个不可压缩射流碰撞的开放问题。在本文中，我们关注有关该碰撞问题的数学理论，并建立了关于由两个同轴轴对称喷嘴发出的流体动力撞击射流的适定性理论。更精确地说，我们表明，对于两个喷嘴中任何给定的质量通量$ M_1> 0 $和$ M_2 <0 $，都存在一个具有接触不连续性的不可压缩，无粘性的撞击射流，这是由两个给定的半无限长的问题引起的轴向对称的喷嘴并延伸到无穷大。而且，撞击射流的恒压自由流表面从两个喷嘴的口顺畅地开始，并收缩到一些渐近的锥形表面。存在将两种不可压缩流体分开的光滑表面，并且在该表面上发生接触不连续性。此外，我们表明，在流场及其封闭中没有停滞点，只有对称轴上的一个停滞点。还获得了在自由流表面的上游和下游冲击射流的一些渐近行为。本文的主要结果解决了[Friedman's book]中两个不可压缩的轴对称射流相撞的开放问题。存在将两种不可压缩流体分开的光滑表面，并且在该表面上发生接触不连续性。此外，我们表明，在流场及其封闭中没有停滞点，只有对称轴上的一个停滞点。还获得了在自由流表面的上游和下游冲击射流的一些渐近行为。本文的主要结果解决了[Friedman's book]中两个不可压缩的轴对称射流相撞的开放问题。存在将两种不可压缩流体分开的光滑表面，并且在该表面上发生接触不连续性。此外，我们表明，在流场及其封闭中没有停滞点，只有对称轴上的一个停滞点。还获得了在自由流表面的上游和下游冲击射流的一些渐近行为。本文的主要结果解决了[Friedman's book]中两个不可压缩的轴对称射流相撞的开放问题。