Assume $\mathsf{ZF}+\mathsf{A}{\mathsf{D}}^{+}+\mathsf{V}=\mathsf{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$. Let ≈ denote the relation of being in bijection. Let $\kappa \in \mathrm{ON}$ and $〈E_{\alpha }:\alpha <\kappa 〉$ be such that for all $\alpha <\kappa$, $E_{\alpha }$ is an equivalence relation on $\mathbb{R}$ with all classes countable and $\mathbb{R}/E_{\alpha }\approx \mathbb{R}$. Then the disjoint union ${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{R}/E_{\alpha }$ is in bijection with $\mathbb{R}\times \kappa$ and ${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{R}/E_{\alpha }$ has the Jónsson property.

Assume $\mathsf{ZF}+\mathsf{A}{\mathsf{D}}^{+}+\mathsf{V}=\mathsf{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$. A set $X\subseteq {[{\omega }_1]}^{<{\omega }_1}$ has a sequence $〈E_{\alpha }:\alpha <{\omega }_1〉$ of equivalence relations on $\mathbb{R}$ such that $\mathbb{R}/E_{\alpha }\approx \mathbb{R}$ and $X\approx {⨆}_{\alpha <{\omega }_1}\mathbb{R}/E_{\alpha }$ if and only if $\mathbb{R}\bigsqcup {\omega }_1$ injects into X.

Assume $\mathsf{AD}$. Suppose $R\subseteq {[{\omega }_1]}^{\omega }\times \mathbb{R}$ is a relation such that for all $f\in {[{\omega }_1]}^{\omega }$, $R_f=\{x\in \mathbb{R}:R(f,x)\}$ is nonempty and countable. Then there is an uncountable $X\subseteq {\omega }_1$ and function $\mathrm{\Phi }:{[X]}^{\omega }\to \mathbb{R}$ which uniformizes R on ${[X]}^{\omega }$: that is, for all $f\in {[X]}^{\omega }$, $R(f,\mathrm{\Phi }(f))$.

Under $\mathsf{AD}$, if κ is an ordinal and $〈E_{\alpha }:\alpha <\kappa 〉$ is a sequence of equivalence relations on $\mathbb{R}$ with all classes countable, then ${[{\omega }_1]}^{\omega }$ does not inject into ${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{R}/E_{\alpha }$.

认为 $\mathsf{采埃孚}+\mathsf{一种}{\mathsf{d}}^{+}+\mathsf{伏特}=\mathsf{大号}（\mathcal{P}（\mathbb{[R}））$。让≈表示存在双射的关系。让$\kappa \in \mathrm{上}$ 和 $〈{Ë}_{\alpha }：\alpha <\kappa 〉$ 对所有人来说 $\alpha <\kappa$， ${Ë}_{\alpha }$ 是上的等价关系 $\mathbb{[R}$ 所有班级都是可数的 $\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }\approx \mathbb{[R}$。然后是脱节的联合${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }$ 与 $\mathbb{[R}\times \kappa$ 和 ${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }$ 拥有Jónsson属性。

认为 $\mathsf{采埃孚}+\mathsf{一种}{\mathsf{d}}^{+}+\mathsf{伏特}=\mathsf{大号}（\mathcal{P}（\mathbb{[R}））$。一套$X\subseteq {[{\omega }_{\mathrm{1个}}]}^{<{\omega }_{\mathrm{1个}}}$ 有一个序列 $〈{Ë}_{\alpha }：\alpha <{\omega }_{\mathrm{1个}}〉$ 等价关系 $\mathbb{[R}$ 这样 $\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }\approx \mathbb{[R}$ 和 $X\approx {⨆}_{\alpha <{\omega }_{\mathrm{1个}}}\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }$ 当且仅当 $\mathbb{[R}\bigsqcup {\omega }_{\mathrm{1个}}$注入到X。

认为 $\mathsf{广告}$。认为$\mathrm{[R}\subseteq {[{\omega }_{\mathrm{1个}}]}^{\omega }\times \mathbb{[R}$ 是这样的关系，对于所有人 $F\in {[{\omega }_{\mathrm{1个}}]}^{\omega }$， ${\mathrm{[R}}_F=\{X\in \mathbb{[R}：\mathrm{[R}（F，X）\}$是非空且可数的。然后有一个不可数的$X\subseteq {\omega }_{\mathrm{1个}}$ 和功能 $\mathrm{\Phi }：{[X]}^{\omega }\to \mathbb{[R}$使R on均匀化${[X]}^{\omega }$：也就是说，对于所有人 $F\in {[X]}^{\omega }$， $\mathrm{[R}（F，\mathrm{\Phi }（F））$。

在下面 $\mathsf{广告}$，如果κ是序数且$〈{Ë}_{\alpha }：\alpha <\kappa 〉$ 是一个等价关系的序列 $\mathbb{[R}$ 所有班级都是可数的，那么 ${[{\omega }_{\mathrm{1个}}]}^{\omega }$ 不注入 ${⨆}_{\alpha <\kappa }\mathbb{[R}/{Ë}_{\alpha }$。