We revisit the Learning Sparse Parities with Noise (LSPN) problem on k out of n variables for $k\ll n$, and present the following findings.

1.

For true parity size $k=n^u$ for any $0<u<1$, and noise rate $\eta <1/2$, the first algorithm solves the (n,k,η)-LSPN problem with constant probability and time/sample complexity $\frac{n^{(1-u+o(1))k}}{{(1/2-\eta )}^2}$.

2.

For any $1/2<c_1<1$, $k=o(\eta n/\log n)$, and $\eta \le n^{-c_1}/4$, our second algorithm solves the (n,k,η)-LSPN problem with constant probability and time/sample complexity $n^{2(1-c_1+o(1))k}$.

3.

We show a “win-win” result about reducing the number of samples. If there is an algorithm that solves $(n,k,\eta )$-LSPN problem with probability $\mathrm{\Omega }(1)$, time/sample complexity $n^{O(k)}$ for $k=o(n^{1-c})$, any noise rate $\eta =n^{1-2c}/3$ and $1/2\le c<1$. Then, either there exists an algorithm that solves the $(n,k,\mu )$-LSPN problem under lower noise rate $\mu =n^{-c}/3$ using only 2n samples, or there exists an algorithm that solves the $(n,k^{\prime },\mu )$-LSPN problem for a much larger $k^{\prime }=n^{1-c}$ with probability $n^{-O(k)}/\mathsf{poly}(n)$, and time complexity $\mathsf{poly}(n)\cdot n^{O(k)}$, using only n samples.

我们重温学习稀疏平价与噪声（LSPN）问题ķ出ñ变量$ķ\ll ñ$，并提出以下发现。

1。

真正的奇偶校验大小 $ķ={ñ}^{ü}$ 对于任何 $0<ü<\mathrm{1个}$和噪音率 $\eta <\mathrm{1个}/\mathrm{2个}$，第一种算法以恒定的概率和时间/样本复杂度解决了（n，k，η）-LSPN问题$\frac{{ñ}^{（\mathrm{1个}-ü+Ø（\mathrm{1个}））ķ}}{{（\mathrm{1个}/\mathrm{2个}-\eta ）}^{\mathrm{2个}}}$。

2。

对于任何 $\mathrm{1个}/\mathrm{2个}<C_{\mathrm{1个}}<\mathrm{1个}$， $ķ=Ø（\eta ñ/\mathrm{日志}ñ）$， 和 $\eta \le {ñ}^{-C_{\mathrm{1个}}}/4$，我们的第二种算法以恒定的概率和时间/样本复杂度解决了（n，k，η）-LSPN问题${ñ}^{\mathrm{2个}（\mathrm{1个}-C_{\mathrm{1个}}+Ø（\mathrm{1个}））ķ}$。

3。

我们展示了减少样本数量的“双赢”结果。如果有一种算法可以解决$（ñ，ķ，\eta ）$-LSPN问题的概率 $\mathrm{\Omega }（\mathrm{1个}）$，时间/样本复杂度 ${ñ}^{Ø（ķ）}$ 为了 $ķ=Ø（{ñ}^{\mathrm{1个}-C}）$，任何噪音率 $\eta ={ñ}^{\mathrm{1个}-\mathrm{2个}C}/3$ 和 $\mathrm{1个}/\mathrm{2个}\le C<\mathrm{1个}$。然后，要么存在一种可以解决以下问题的算法$（ñ，ķ，\mu ）$-低噪声率下的LSPN问题 $\mu ={ñ}^{-C}/3$仅使用2 n个样本，或者存在一种算法可以解决$（ñ，{ķ}^{\prime }，\mu ）$-LSPN问题更大 ${ķ}^{\prime }={ñ}^{\mathrm{1个}-C}$ 很有可能 ${ñ}^{-Ø（ķ）}/\mathsf{聚}（ñ）$和时间复杂度 $\mathsf{聚}（ñ）\cdot {ñ}^{Ø（ķ）}$，仅使用n个样本。