Commuting additive maps on tensor products of matrices,Linear and Multilinear Algebra

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Commuting additive maps on tensor products of matrices
Linear and Multilinear Algebra ( IF 1.1 ) Pub Date : 2021-04-30 , DOI: 10.1080/03081087.2021.1920876
Wai Leong Chooi ₁ , Jian Yong Wong ₁

Affiliation

Let $k, n_{1}, \dots, n_{k}$ be positive integers such that $n_{i} ⩾ 2$ for $i = 1, \dots, k$ and let $M_{n_{i}}$ denote the algebra of $n_{i} \times n_{i}$ matrices over a field $F$ for $i = 1, \dots, k$ . Let $⨂_{i = 1}^{k} M_{n_{i}}$ be the tensor product of $M_{n_{1}}, \dots, M_{n_{k}}$ . We obtain a structural characterization of additive maps $ψ : ⨂_{i = 1}^{k} M_{n_{i}} \to ⨂_{i = 1}^{k} M_{n_{i}}$ satisfying $ψ (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) = (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) ψ (⨂_{i = 1}^{k} A_{i})$ for all $A_{1} \in S_{n_{1}}, \dots, A_{k} \in S_{n_{k}}$ , where $\begin{aligned} S_{n_{i}} & = \{E_{s t}^{(n_{i})} + α E_{p q}^{(n_{i})} : α \in F, \\ 1 ⩽ p, q, s, t ⩽ n_{i} a r e n o t a l l d i s t i n c t i n t e g e r s\} \end{aligned}$ and $E_{s t}^{(n_{i})}$ is the standard matrix unit in $M_{n_{i}}$ for $i = 1, \dots, k$ . In particular, we show that $ψ : M_{n_{1}} \to M_{n_{1}}$ is an additive map commuting on $S_{n_{1}}$ if and only if there exist a scalar $λ \in F$ and an additive map $μ : M_{n_{1}} \to F$ such that $ψ (A) = λ A + μ (A) I_{n_{1}}$ for all $A \in M_{n_{1}}$ . As an application, we classify additive maps $ψ : ⨂_{i = 1}^{k} M_{n_{i}} \to ⨂_{i = 1}^{k} M_{n_{i}}$ satisfying $ψ (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) = (⨂_{i = 1}^{k} A_{i}) ψ (⨂_{i = 1}^{k} A_{i})$ for all $A_{1} \in R_{r_{1}}^{n_{1}}, \dots, A_{k} \in R_{r_{k}}^{n_{k}}$ . Here, $R_{r_{i}}^{n_{i}}$ denotes the set of rank $r_{i}$ matrices in $M_{n_{i}}$ and each $1 < r_{i} ⩽ n_{i}$ is a fixed integer such that $r_{i} \neq n_{i}$ when $n_{i} = 2$ and $| F | = 2$ for $i = 1, \dots, k$ .

中文翻译：

矩阵张量积上的通勤加法映射

让 $k, n_{1个}, \dots\dots, n_{k}$ 是正整数使得 $n_{一世} ⩾ 2个$ 为了 $一世 = 1个, \dots\dots, k$ 然后让 $米_{n_{一世}}$ 表示代数 $n_{一世} \times n_{一世}$ 域上的矩阵 $F$ 为了 $一世 = 1个, \dots\dots, k$ . 让 $⨂_{一世 = 1个}^{k} 米_{n_{一世}}$ 是的张量积 $米_{n_{1个}}, \dots\dots, 米_{n_{k}}$ . 我们获得了附加映射的结构特征 $ψ : ⨂_{一世 = 1个}^{k} 米_{n_{一世}} \to ⨂_{一世 = 1个}^{k} 米_{n_{一世}}$ 令人满意 $ψ (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) = (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) ψ (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世})$ 对所有人 ${一种}_{1个} \in {小号}_{n_{1个}}, \dots\dots, {一种}_{k} \in {小号}_{n_{k}}$ ，在哪里 $\begin{aligned} {小号}_{n_{一世}} & = \{乙_{秒吨}^{(n_{一世})} + α 乙_{p q}^{(n_{一世})} : α \in F, \\ 1个 ⩽ p, q, 秒, 吨 ⩽ n_{一世} 一种 r 电子 n o 吨一种升升 d 一世秒吨一世 n C 吨一世 n 吨电子 G 电子 r 秒\} \end{aligned}$ 和 $乙_{秒吨}^{(n_{一世})}$ 是标准矩阵单位 $米_{n_{一世}}$ 为了 $一世 = 1个, \dots\dots, k$ . 特别地，我们表明 $ψ : 米_{n_{1个}} \to 米_{n_{1个}}$ 是通勤的附加地图 ${小号}_{n_{1个}}$ 当且仅当存在标量 $λ \in F$ 和一张附加地图 $μ : 米_{n_{1个}} \to F$ 这样 $ψ (一种) = λ 一种 + μ (一种) 我_{n_{1个}}$ 对所有人 $一种 \in 米_{n_{1个}}$ . 作为一个应用，我们对加法图进行分类 $ψ : ⨂_{一世 = 1个}^{k} 米_{n_{一世}} \to ⨂_{一世 = 1个}^{k} 米_{n_{一世}}$ 令人满意 $ψ (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) = (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世}) ψ (⨂_{一世 = 1个}^{k} {一种}_{一世})$ 对所有人 ${一种}_{1个} \in R_{r_{1个}}^{n_{1个}}, \dots\dots, {一种}_{k} \in R_{r_{k}}^{n_{k}}$ . 这里， $R_{r_{一世}}^{n_{一世}}$ 表示秩的集合 $r_{一世}$ 中的矩阵 $米_{n_{一世}}$ 和每个 $1个 < r_{一世} ⩽ n_{一世}$ 是一个固定的整数，使得 $r_{一世} \neq n_{一世}$ 什么时候 $n_{一世} = 2个$ 和 $| F | = 2个$ 为了 $一世 = 1个, \dots\dots, k$ .

更新日期：2021-04-30

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