We prove a central limit theorem for log⁡|ζ⁢(12+i⁢t)|{\log\lvert\zeta(\frac{1}{2}+it)\rvert} with respect to the measure |ζ(m)⁢(12+i⁢t)|2⁢k⁢d⁢t{\lvert\zeta^{(m)}(\frac{1}{2}+it)\rvert^{2k}\,dt} (k,m∈ℕ{k,m\in\mathbb{N}}), assuming RH and the asymptotic formula for twisted and shifted integral moments of zeta. Under the same hypotheses, we also study a shifted case, looking at the measure |ζ⁢(12+i⁢t+i⁢α)|2⁢k⁢d⁢t{\lvert\zeta(\frac{1}{2}+it+i\alpha)\rvert^{2k}\,dt}, with α∈(-1,1){\alpha\in(-1,1)}. Finally, we prove unconditionally the analogue result in the random matrix theory context.

中文翻译：

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临界线上Riemann zeta函数的加权值分布

我们证明了log⁡|ζ⁢（12 +i⁢t）| {\ log \ lvert \ zeta（\ frac {1} {2} + it）\ rvert}关于测度|ζ（ m）⁢（12 +i⁢t）|2⁢k⁢d⁢t{\ lvert \ zeta ^ {（m）}（\ frac {1} {2} + it）\ rvert ^ {2k} \ ,, dt }（k，m∈ℕ{k，m \ in \ mathbb {N}}），并假设RH和zeta扭转和位移积分矩的渐近公式。在相同的假设下，我们还研究了转移的情况，着眼于测度|ζ⁢（12 +i⁢t+i⁢α）|2⁢k⁢d⁢t{\ lvert \ zeta（\ frac {1} { 2} + it + i \ alpha）\ rvert ^ {2k} \，dt}，其中α∈（-1,1）{\ alpha \ in（-1,1）}。最后，我们在随机矩阵理论的背景下无条件地证明了模拟结果。