Let $(\mathcal{M},\tau )$ be a semi-finite von Neumann algebra, $L_0(\mathcal{M})$ be the set of all τ-measurable operators and ${\mu }_t(x)$ be the generalized singular number of $x\in L_0(\mathcal{M})$. We proved that if $1<p,q<\mathrm{\infty },\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $r\ge 2min\{\frac{1}{p},\frac{1}{q}\}$ and $x,y\in L_0(\mathcal{M})$, then the Young-type inequality ${\mu }_t(|x{y}^{\ast }{|}^r)\le {\mu }_t(\frac{1}{p}|x{|}^{pr}+\frac{1}{q}|y{|}^{qr})$, for all t>0 holds.

中文翻译：

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关于可测算符的杨型不等式

让$(\mathcal{米},\tau )$是一个半有限冯诺依曼代数，${\mathrm{大号}}_0(\mathcal{米})$是所有τ可测算子的集合，并且${\mu }_{吨}(X)$是广义单数$X\in {\mathrm{大号}}_0(\mathcal{米})$. 我们证明了如果$\mathrm{1个}<p,q<\mathrm{\infty },\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}=\mathrm{1个}$,$r\ge \mathrm{2个}分钟\{\frac{\mathrm{1个}}{p},\frac{\mathrm{1个}}{q}\}$和$X,是\in {\mathrm{大号}}_0(\mathcal{米})$, 那么杨型不等式${\mu }_{吨}(|X{是}^{＊}{|}^r)\le {\mu }_{吨}(\frac{\mathrm{1个}}{p}|X{|}^{pr}+\frac{\mathrm{1个}}{q}|是{|}^{qr})$，对于所有t >0 成立。