We discuss the Cauchy problem for a parabolic attraction–repulsion chemotaxis system: $\left\{\begin{array}{cc}{\partial }_{t}u=\Delta u-\nabla \cdot ({\beta }_{1}u\nabla v_1)+\nabla \cdot ({\beta }_{2}u\nabla v_2),\hfill & t>0,x\in {\mathbb{R}}^2,\hfill \\ {\partial }_t{v}_j=\Delta v_j-{\lambda }_j{v}_j+u,\hfill & t>0,x\in {\mathbb{R}}^2(j=1,2),\hfill \\ u(0,x)=u_0\left(x\right),v_j(0,x)=v_{j0}\left(x\right),\hfill & x\in {\mathbb{R}}^2(j=1,2)\hfill \end{array}\right.$with positive constants ${\beta }_j,{\lambda }_j>0$ $(j=1,2)$ satisfying ${\beta }_1>{\beta }_2$. In our companion paper, the authors proved the existence of global-in-time solutions for any initial data with $({\beta }_1-{\beta }_2){\int }_{{\mathbb{R}}^2}{u}_{0}dx<8\pi$. In this paper, we prove that every solution stays bounded as $t\to \infty$ provided that $({\beta }_1-{\beta }_2){\int }_{{\mathbb{R}}^2}{u}_{0}dx<4\pi$.

中文翻译：

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一类抛物线吸引-排斥趋化系统解的有界性。 ${\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}$：有吸引力的主导案例

我们讨论抛物线-排斥趋化系统的柯西问题： $\left\{\begin{array}{cc}{\partial }_{Ť}ü=\Delta ü-\nabla \cdot （{\beta }_{\mathrm{1个}}ü\nabla v_{\mathrm{1个}}）+\nabla \cdot （{\beta }_{\mathrm{2个}}ü\nabla v_{\mathrm{2个}}），\hfill & Ť>0，X\in {\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}，\hfill \\ {\partial }_{Ť}{v}_{Ĵ}=\Delta v_{Ĵ}-{\lambda }_{Ĵ}{v}_{Ĵ}+ü，\hfill & Ť>0，X\in {\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}（Ĵ=\mathrm{1个}，\mathrm{2个}），\hfill \\ ü（0，X）={ü}_0（X），v_{Ĵ}（0，X）=v_{Ĵ0}（X），\hfill & X\in {\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}（Ĵ=\mathrm{1个}，\mathrm{2个}）\hfill \end{array}\right.$具有正常数 ${\beta }_{Ĵ}，{\lambda }_{Ĵ}>0$ $（Ĵ=\mathrm{1个}，\mathrm{2个}）$ 满意的 ${\beta }_{\mathrm{1个}}>{\beta }_{\mathrm{2个}}$。在我们的伴随论文中，作者证明了存在任何具有以下问题的初始数据的全局及时解决方案的存在：$（{\beta }_{\mathrm{1个}}-{\beta }_{\mathrm{2个}}）{\int }_{{\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}}{ü}_{0}dX<8\pi$。在本文中，我们证明了每个解决方案在$Ť\to \infty$ 规定 $（{\beta }_{\mathrm{1个}}-{\beta }_{\mathrm{2个}}）{\int }_{{\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}}{ü}_{0}dX<4\pi$。