We give algorithms for computing coresets for $(1+\varepsilon)$-approximate $k$-median clustering of polygonal curves (under the discrete and continuous Fr\'{e}chet distance) and point sets (under the Hausdorff distance), when the cluster centers are restricted to be of low complexity. Ours is the first such result, where the size of the coreset is independent of the number of input curves/point sets to be clustered (although it still depends on the maximum complexity of each input object). Specifically, the size of the coreset is $\Theta\left(\frac{k^3lm^{\delta}d}{\varepsilon^2}\log\left( \frac{kl}{\varepsilon}\right)\right)$ for any $\delta > 0$, where $d$ is the ambient dimension, $m$ is the maximum number of points in an input curve/point set, and $l$ is the maximum number of points allowed in a cluster center. We formally characterize a general condition on the restricted space of cluster centers -- this helps us to generalize and apply the importance sampling framework, that was used by Langberg and Schulman for computing coresets for $k$-median clustering of $d$-dimensional points on normed spaces in $\mathbb{R}^d$, to the problem of clustering curves and point sets using the Fr\'{e}chet and Hausdorff metrics. Roughly, the condition places an upper bound on the number of different combinations of metric balls that the restricted space of cluster centers can hit. We also derive lower bounds on the size of the coreset, given the restriction that the coreset must be a subset of the input objects.

中文翻译：

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Fréchet和Hausdorff距离下$ k $中值聚类的核心集

我们给出了计算多边形曲线（在离散和连续Fr'{e} chet距离下）和点集（在Hausdorff距离下）的$（1+ \ varepsilon）$-近似$ k $-中值聚类的核心集的算法。 ，当集群中心被限制为低复杂度时。我们的结果是第一个这样的结果，其中核心集的大小与要聚类的输入曲线/点集的数量无关（尽管它仍取决于每个输入对象的最大复杂度）。具体来说，核心集的大小为$ \ Theta \ left（\ frac {k ^ 3lm ^ {\ delta} d} {\ varepsilon ^ 2} \ log \ left（\ frac {kl} {\ varepsilon} \ right） \ right）$对于任何$ \ delta> 0 $，其中$ d $是环境尺寸，$ m $是输入曲线/点集中的最大点数，$ l $是允许的最大点数在集群中心。我们正式描述了集群中心受限空间的一般条件-这有助于我们概括和应用重要性抽样框架，该模型被Langberg和Schulman用于计算$ d $维的$ k $中位数聚类的核心集在$ \ mathbb {R} ^ d $中的范数空间上的点，使用Fr'{e} chet和Hausdorff度量来聚类曲线和点集。大致上，该条件为群集中心的受限空间可能命中的公制球的不同组合的数量设置了上限。考虑到核心集必须是输入对象的子集的限制，我们还得出了核心集大小的下界。由Langberg和Schulman用于计算核心集，以在$ \ mathbb {R} ^ d $的赋范空间上对$ d $维点的$ k $中值聚类，从而解决了使用Fr聚类曲线和点集的问题\'{e} chet和Hausdorff指标。大致上，该条件为群集中心的受限空间可能命中的公制球的不同组合的数量设置了上限。考虑到核心集必须是输入对象的子集的限制，我们还得出了核心集大小的下界。由Langberg和Schulman用于计算核心集，以在$ \ mathbb {R} ^ d $的赋范空间上对$ d $维点的$ k $中值聚类，从而解决了使用Fr聚类曲线和点集的问题\'{e} chet和Hausdorff指标。大致上，该条件为群集中心的受限空间可能命中的公制球的不同组合的数量设置了上限。考虑到核心集必须是输入对象的子集的限制，我们还得出了核心集大小的下界。该条件为群集中心的受限空间可以击中的公制球的不同组合的数量设置了上限。考虑到核心集必须是输入对象的子集的限制，我们还得出了核心集大小的下界。该条件为群集中心的受限空间可以击中的公制球的不同组合的数量设置了上限。考虑到核心集必须是输入对象的子集的限制，我们还得出了核心集大小的下界。