Abstract

Let $f(x)=\alpha x+\beta \hspace{1em}\mathrm{mod}1$ for fixed real parameters α and β. For any positive integer n, define the Sós permutation π to be the lexicographically first permutation such that $0\le f(\pi (0))\le f(\pi (1))\le \cdots \le f(\pi (n))<1$. In this article, we give a bijection between Sós permutations and regions in a partition of the parameter space $(\alpha ,\beta )\in {[0,1)}^2$. This allows us to enumerate these permutations and to obtain the following “three areas” theorem: in any vertical strip $(a/b,c/d)\times [0,1)$, with $(a/b,c/d)$ a Farey interval, there are at most three distinct areas of regions, and one of these areas is the sum of the other two.

摘要

让 $F（X）=\alpha X+\beta \hspace{1em}\mathrm{国防部}\mathrm{1个}$对于固定的实参α和β。对于任何正整数n，将Sós置换π定义为字典上的第一个置换，使得$0\le F（\pi （0））\le F（\pi （\mathrm{1个}））\le \cdots \le F（\pi （ñ））<\mathrm{1个}$。在本文中，我们在参数空间分区中的Só置换与区域之间给出了双射$（\alpha ，\beta ）\in {[0，\mathrm{1个}）}^{\mathrm{2个}}$。这使我们能够枚举这些排列并获得以下“三个区域”定理：在任何垂直带中$（\mathrm{一种}/b，C/d）\times [0，\mathrm{1个}）$， 和 $（\mathrm{一种}/b，C/d）$ 在一个Farey区间中，最多有三个不同的区域，这些区域之一是其他两个区域的总和。