Abstract

For positive integers n and p, we give a short proof of a formula expressing n^p as a linear combination of figurate numbers with coefficients given by the numbers $c_{p,\mathcal{l}}$ of $(p-\mathcal{l})$-dimensional facets of p-dimensional simplices obtained by cutting a p-dimensional cube, where $\mathcal{l}=0,1,\dots ,p-1$. This formula was formulated as Conjecture 16 in F. Marko and S. Litvinov (2020), Geometry of figurate numbers and sums of powers of consecutive natural numbers, this Monthly, 127(1): 4–22.

中文翻译：

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关于数字几何的注记

摘要

对于正整数n和p，我们给出了一个简短的公式证明，该公式将n ^p表示 为数字与系数给定的线性组合。$C_{p，\mathcal{升}}$ 的 $（p-\mathcal{升}）$通过切割p维立方体获得的p维单纯形的三维小平面，其中$\mathcal{升}=0，\mathrm{1个}，\dots ，p-\mathrm{1个}$。这个公式在F. Marko和S. Litvinov（2020）中被公式化为猜想16，它是图形数的几何以及连续自然数的幂之和，该模型最后以127（1）：4-22的形式出现。