In the present paper, we develop a direct approach to find nontrivial solutions and ground state solutions for the following planar Schrödinger equation:

where V(x) is an 1-periodic function with respect to \(x_1\) and \(x_2\), 0 lies in a gap of the spectrum of \(-\Delta +V\) , and f(x, t) behaves like \(\pm e^{\alpha t^2}\) as \(t\rightarrow \pm \infty \) uniformly on \(x\in {\mathbb {R}}^2\). Our theorems extend and improve the results of de Figueiredo-Miyagaki-Ruf (Calc Var Partial Differ Equ, 3(2):139–153, 1995), of de Figueiredo-do Ó-Ruf (Indiana Univ Math J, 53(4):1037–1054, 2004), of Alves-Souto-Montenegro (Calc Var Partial Differ Equ 43: 537–554, 2012), of Alves-Germano (J Differ Equ 265: 444–477, 2018) and of do Ó-Ruf (NoDEA 13: 167–192, 2006).

在本文中，我们开发了一种直接方法来寻找以下平面Schrödinger方程的非平凡解和基态解：

其中V（X）是相对于一个1周期函数\（X_1 \）和\（X_2 \），0在于的频谱的一个间隙\（ - \德尔塔+ V \），和˚F（X，  t）在\（x \ in {\ mathbb {R}} ^ 2 \）上的行为像\（t \ rightarrow \ pm \ infty \）的行为像\（\ pm e ^ {\ alpha t ^ 2} \）一样。我们的定理扩展和改善了de Figueiredo-doÓ-Ruf（印第安纳大学数学J，53（4）的de Figueiredo-Miyagaki-Ruf（Calc Var Partial Differ Equ，3（2）：139–153，1995）的结果。 ）：1037–1054，2004年），阿尔维斯-绍托-黑山（Calc Var Partial Differ Equ 43：537-554，2012），阿尔维斯-杰曼诺（J Differ Equ 265：444-477，2018）和doÓ -Ruf（NoDEA 13：167–192，2006）。