We show that the Kazhdan–Lusztig category $KL_k$ of level-$k$ finite-length modules with highest-weight composition factors for the affine Lie superalgebra $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$ has vertex algebraic braided tensor supercategory structure and that its full subcategory $\mathcal{O}_k^{fin}$ of objects with semisimple Cartan subalgebra actions is a tensor subcategory. We show that every simple $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$-module in $KL_k$ has a projective cover in ${\mathcal{O}}_k^{fin}$, and we determine all fusion rules involving simple and projective objects in ${\mathcal{O}}_k^{fin}$. Then using Knizhnik–Zamolodchikov equations, we prove that $KL_k$ and $\mathcal{O}_k^{fin}$ are rigid. As an application of the tensor supercategory structure on $\mathcal{O}_k^{fin}$, we study certain module categories for the affine Lie superalgebra $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$ at levels $1$ and $-\frac{1}{2}$. In particular, we obtain a tensor category of $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$-modules at level $-\frac{1}{2}$ that includes relaxed highest-weight modules and their images under spectral flow.

中文翻译：

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仿射的 Kazhdan-Lusztig 范畴的张量结构𝔤𝔩(1|1)

我们证明了仿射李超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$ 的具有最高权重组合因子的级别-$k$ 有限长度模块的 Kazhdan-Lusztig 类别 $KL_k$ 具有顶点代数编织张量超范畴结构，其全子范畴 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 具有半简单嘉当子代数作用的对象是张量子范畴。我们证明了 $KL_k$ 中的每个简单 $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$-module 在 ${\mathcal{O}}_k^{fin}$ 中都有一个射影覆盖，我们确定${\mathcal{O}}_k^{fin}$ 中涉及简单和投影对象的所有融合规则。然后使用 Knizhnik–Zamolodchikov 方程，我们证明 $KL_k$ 和 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 是刚性的。作为张量超范畴结构在 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 上的应用，我们研究了仿射李超代数 $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$ 在 $1$ 和 $-\frac{1}{2}$ 级别的某些模块类别。特别是，我们在 $-\frac{1}{2}$ 级别获得了 $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$-modules 的张量类别，其中包括松弛的最高权重模块及其图像在谱流下。