A general, multi-component Eulerian fluid theory is a set of nonlinear, hyperbolic partial differential equations. However, if the fluid is to be the large-scale description of a short-range many-body system, further constraints arise on the structure of these equations. Here we derive one such constraint, pertaining to the free energy fluxes. The free energy fluxes generate expectation values of currents, akin to the specific free energy generating conserved densities. They fix the equations of state and the Euler-scale hydrodynamics, and are simply related to the entropy currents. Using the Kubo–Martin–Schwinger relations associated to many conserved quantities, in quantum and classical systems, we show that the associated free energy fluxes are perpendicular to the vector of inverse temperatures characterising the state. This implies that all entropy currents can be expressed as averages of local observables. In few-component fluids, it implies that the averages of currents follow from the specific free energy alone, without the use of Galilean or relativistic invariance. In integrable models, in implies that the thermodynamic Bethe ansatz must satisfy a unitarity condition. The relation also guarantees physical consistency of the Euler hydrodynamics in spatially-inhomogeneous, macroscopic external fields, as it implies conservation of entropy, and the local-density approximated Gibbs form of stationarity states. The main result on free energy fluxes is based on general properties such as clustering, and we show that it is mathematically rigorous in quantum spin chains.

一般的多分量欧拉流体理论是一组非线性、双曲偏微分方程。然而，如果流体是短程多体系统的大规模描述，则对这些方程的结构会产生进一步的限制。在这里，我们推导出一个这样的约束，与自由能通量有关。自由能通量产生电流的期望值，类似于产生守恒密度的特定自由能。它们固定了状态方程和欧拉尺度流体动力学，并且与熵流简单相关。使用与许多守恒量相关的 Kubo-Martin-Schwinger 关系，在量子和经典系统中，我们表明相关的自由能通量垂直于表征状态的逆温度向量。这意味着所有熵流都可以表示为局部观测值的平均值。在少组分流体中，这意味着电流的平均值仅来自特定的自由能，而不使用伽利略或相对论不变性。在可积模型中，in 意味着热力学 Bethe ansatz 必须满足幺正性条件。该关系还保证了欧拉流体动力学在空间不均匀的宏观外部场中的物理一致性，因为它意味着熵守恒，以及稳态的局域密度近似吉布斯形式。自由能通量的主要结果基于聚类等一般性质，我们表明它在量子自旋链中在数学上是严格的。这意味着电流的平均值仅来自特定的自由能，而不使用伽利略或相对论不变性。在可积模型中，in 意味着热力学 Bethe ansatz 必须满足幺正性条件。该关系还保证了欧拉流体动力学在空间不均匀的宏观外部场中的物理一致性，因为它意味着熵守恒，以及稳态的局域密度近似吉布斯形式。自由能通量的主要结果基于聚类等一般性质，我们表明它在量子自旋链中在数学上是严格的。这意味着电流的平均值仅来自特定的自由能，而不使用伽利略或相对论不变性。在可积模型中，in 意味着热力学 Bethe ansatz 必须满足幺正性条件。该关系还保证了欧拉流体动力学在空间不均匀的宏观外部场中的物理一致性，因为它意味着熵守恒，以及稳态的局域密度近似吉布斯形式。自由能通量的主要结果基于聚类等一般性质，我们表明它在量子自旋链中在数学上是严格的。in 意味着热力学 Bethe ansatz 必须满足单一性条件。该关系还保证了欧拉流体动力学在空间不均匀的宏观外部场中的物理一致性，因为它意味着熵守恒，以及稳态的局域密度近似吉布斯形式。自由能通量的主要结果基于聚类等一般性质，我们表明它在量子自旋链中在数学上是严格的。in 意味着热力学 Bethe ansatz 必须满足单一性条件。该关系还保证了欧拉流体动力学在空间不均匀的宏观外部场中的物理一致性，因为它意味着熵守恒，以及稳态的局域密度近似吉布斯形式。自由能通量的主要结果基于聚类等一般性质，我们表明它在量子自旋链中在数学上是严格的。