In this paper, we study the local time spent by an Ornstein–Uhlenbeck (OU) particle at some location till time t. Using the Feynman–Kac formalism, the computation of the moment generating function (MGF) of the local time can be mapped to the problem of finding the eigenvalues and eigenfunctions of a quantum particle. We employ quantum perturbation theory to compute the eigenvalues and eigenfunctions in powers of the argument of the MGF which particularly help to directly compute the cumulants and correlations among local times spent at different locations. In particular, we obtain explicit expressions of the mean, variance, and covariance of the local times in the presence and in the absence of an absorbing boundary, conditioned on survival. In the absence of absorbing boundaries, we also study large deviations of the local time and compute exact asymptotic forms of the associated large deviation functions explicitly. In the second part of the paper, we extend our study of the statistics of local time of the OU particle to the case not conditioned on survival. In this case, one expects the distribution of the local time to reach a stationary distribution in the large time limit. Computations of such stationary distributions are known in the literature as the problem of first passage functionals. In this paper, we study the approach to this stationary state with time by providing a general formulation for evaluating the MGF. From this MGF, we compute the cumulants of the local time exhibiting the approach to the stationary values explicitly for a free particle and a OU particle. Our analytical results are verified and supported by numerical simulations.

在本文中，我们研究了 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 粒子在某个位置花费的本地时间，直到时间t. 使用 Feynman-Kac 形式主义，本地时间的矩生成函数 (MGF) 的计算可以映射到寻找量子粒子的特征值和特征函数的问题。我们采用量子微扰理论来计算 MGF 的参数幂的特征值和特征函数，这特别有助于直接计算在不同位置花费的本地时间之间的累积量和相关性。特别是，我们在存在和不存在吸收边界的情况下，以生存为条件，获得了本地时间的均值、方差和协方差的显式表达式。在没有吸收边界的情况下，我们还研究了本地时间的大偏差，并明确计算了相关大偏差函数的精确渐近形式。在论文的第二部分，我们将 OU 粒子本地时间的统计研究扩展到不以生存为条件的情况。在这种情况下，人们期望本地时间的分布在大的时间限制内达到平稳分布。这种平稳分布的计算在文献中被称为第一通道泛函问题。在本文中，我们通过提供用于评估 MGF 的一般公式来研究这种随时间稳定状态的方法。从这个 MGF，我们计算本地时间的累积量，显示出对自由粒子和 OU 粒子的平稳值的方法。我们的分析结果得到了数值模拟的验证和支持。人们期望本地时间的分布在大时限内达到平稳分布。这种平稳分布的计算在文献中被称为第一通道泛函问题。在本文中，我们通过提供用于评估 MGF 的一般公式来研究这种随时间稳定状态的方法。从这个 MGF，我们计算本地时间的累积量，显示出对自由粒子和 OU 粒子的平稳值的方法。我们的分析结果得到了数值模拟的验证和支持。人们期望本地时间的分布在大时限内达到平稳分布。这种平稳分布的计算在文献中被称为第一通道泛函问题。在本文中，我们通过提供用于评估 MGF 的一般公式来研究这种随时间稳定状态的方法。从这个 MGF，我们计算本地时间的累积量，显示出对自由粒子和 OU 粒子的平稳值的方法。我们的分析结果得到了数值模拟的验证和支持。我们通过提供用于评估 MGF 的一般公式来研究这种随时间稳定状态的方法。从这个 MGF，我们计算本地时间的累积量，显示出对自由粒子和 OU 粒子的平稳值的方法。我们的分析结果得到了数值模拟的验证和支持。我们通过提供用于评估 MGF 的一般公式来研究这种随时间稳定状态的方法。从这个 MGF，我们计算本地时间的累积量，显示出对自由粒子和 OU 粒子的平稳值的方法。我们的分析结果得到了数值模拟的验证和支持。