This paper is concerned with new insights on the application of the boundary-field equation approach, which refers basically to the combined use of finite element and boundary integral equation methods, to numerically solve nonlinear exterior transmission problems in 2D and 3D. As a model, we consider a nonlinear second-order elliptic equation in divergence form holding in an annular domain coupled with the Laplace equation in the corresponding unbounded exterior region, together with transmission conditions on the interface and a suitable radiation condition at infinity. We first extend the classical Johnson & Nédélec coupling procedure, which makes use of only one boundary integral equation, to our nonlinear model without assuming any restrictive smoothness requirement on the boundary but only Lipschitz-continuity. Next, we extend the applicability of a recently introduced modification of the Costabel & Han coupling method, which employs the two boundary integral equations arising from the Green representation formula, to our nonlinear model as well. This new boundary-field equation method is based on the introduction of both Cauchy data on the boundary as independent unknowns. Primal and dual-mixed variational formulations are analyzed for each extension described above, and suitable hypotheses on the nonlinear coefficient of the elliptic equation allow to establish well-posedness of the corresponding continuous and discrete schemes by using monotone operator and nonlinear Babuška-Brezzi theories. Finally, a priori error estimates are established.

本文关注边界场方程方法的应用的新见解，该方法基本上是指有限元和边界积分方程方法的结合使用，以数值方式解决2D和3D中的非线性外部传递问题。作为模型，我们考虑发散形式的非线性二阶椭圆方程在环形域中与相应的无界外部区域中的拉普拉斯方程耦合，并在界面上具有透射条件，并在无穷大处具有合适的辐射条件。我们首先将仅使用一个边界积分方程的经典Johnson＆Nédélec耦合过程扩展到我们的非线性模型，而无需假设边界上的任何限制平滑度，而仅假设Lipschitz连续性。下一个，我们也将最近引入的改进的Costabel＆Han耦合方法的适用性扩展到我们的非线性模型，该方法使用了由Green表示公式产生的两个边界积分方程。这种新的边界场方程方法是基于将边界上的两个柯西数据作为独立的未知数引入的。针对上述每个扩展对原始和双重混合变分公式进行了分析，关于椭圆方程非线性系数的适当假设允许使用单调算子和非线性Babuška-Brezzi理论建立相应连续和离散方案的适定性。最后，建立先验误差估计。它也采用了由Green表示公式产生的两个边界积分方程，也适用于我们的非线性模型。这种新的边界场方程方法是基于将边界上的两个柯西数据作为独立的未知数引入的。针对上述每个扩展对原始和双重混合变分公式进行了分析，关于椭圆方程非线性系数的适当假设允许使用单调算子和非线性Babuška-Brezzi理论建立相应连续和离散方案的适定性。最后，建立先验误差估计。它也采用了由Green表示公式产生的两个边界积分方程，也适用于我们的非线性模型。这种新的边界场方程方法是基于将边界上的两个柯西数据作为独立的未知数引入的。针对上述每个扩展对原始和双重混合变分公式进行了分析，关于椭圆方程非线性系数的适当假设允许通过使用单调算子和非线性Babuška-Brezzi理论建立相应连续和离散方案的适定性。最后，建立先验误差估计。这种新的边界场方程方法是基于将边界上的两个柯西数据作为独立的未知数引入的。针对上述每个扩展对原始和双重混合变分公式进行了分析，关于椭圆方程非线性系数的适当假设允许使用单调算子和非线性Babuška-Brezzi理论建立相应连续和离散方案的适定性。最后，建立先验误差估计。这种新的边界场方程方法是基于将边界上的两个柯西数据作为独立的未知数引入的。针对上述每个扩展对原始和双重混合变分公式进行了分析，关于椭圆方程非线性系数的适当假设允许使用单调算子和非线性Babuška-Brezzi理论建立相应连续和离散方案的适定性。最后，建立先验误差估计。